משתמש:בר/תמונה

$f$ היא פונקציה מתחום $X$ לטווח $Y$. התמונה של האיבר $x$ הוא האיבר $y$. המקור של האיבר $y$ הוא הקבוצה { $x,x'$ }. המקור של האיבר$y'$ הוא $\varnothing$.

$f$ היא פונקציה מתחום $X$ לטווח $Y$. התמונה של כל האיברים ב-$A$ היא הקבוצה $B$. המקור של $B$ הוא תת-קבוצה $C$

תמונה של פונקציה היא קבוצת כל הערכים שהפונקציה מחזירה, כתוצאה מהפעלת הפונקציה על האיברים בתחום שלה.

הבנת התמונה של פונקציה חשובה באנליזה מתמטית, בתורת הקבוצות, ובתחומים נוספים במתמטיקה. היא עוזרת להבין את תחום הפעולה של הפונקציה וכיצד היא ממפה ערכים מקבוצת התחום לקבוצת הטווח.

הגדרה

בהינתן פונקציה $f:A\to B$, התמונה של הפונקציה $f$ היא קבוצת כל ערכי $f(x)$ כאשר $x$ שייך לקבוצה $A$. כלומר, התמונה של הפונקציה $f$ היא: $Im(f)=\{f(x)|x\in A\}$.

על פי ההגדרה ניתן להסיק כי התמונה היא תת־קבוצה של הטווח של הפונקציה. כלומר מתקיים $Im(f)\subseteq B$. אם התמונה שווה לטווח, כלומר $Im(f)=B$ אז נאמר שהפונקציה $f$ היא "על".

בהרכבה של פונקציות

אם יש לנו שתי פונקציות $f:X\to Y$ ו-$f:Y\to Z$, אז התמונה של הרכבת הפונקציות $g\circ f$ מתקבלת על ידי התמונה של $f$ ואז התמונה של $g$:

דוגמה

תהיינה הפונקציות הבאות: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ו-$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ כך שמתקיים: $f(x)=2x+3$ ו-$g(y)=y^{2}$. אנו רוצים למצוא את ההרכבה $g\circ f(x)$.

לשם כך נחשב את $g(f(x))$:

$g(f(x))=g(2x+3)=(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$

\( g(f(x)) \): \[ g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 \] אז ההרכבה \( (g \circ f)(x) \) היא: \[ (g \circ f)(x) = (2x + 3)^2 \]

שימושים נוספים

במתמטיקה, המונח "תמונה" משמש בדרכים שונות, אך קשורות: תמונה של איבר, תמונה של תת-קבוצה ותמונה של פונקציה.

גם בהגדרות אלו, $f:X\to Y$ היא פונקציה מהתחום $X$ לטווח $Y$.

תמונה של איבר

אם $x$ הוא איבר ב-$X$, אז התמונה של $x$ תחת $f$ (המסומן כ-$f(x)$) הוא הערך של $f$ כשהיא מופעלת על $x$. לחלופין, $f(x)$ מכונה הפלט של $f$ לארגומנט $x$.

תמונה של קבוצה

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו לוויקיפדיה ועזרו לערוך אותו.

תהי $f:X\to Y$ פונקציה. התמונה של קבוצה תחת $f$, $A$ היא תת קבוצה של התחום $X$, לכל $f(a)$ אשר $a\in A$. הוא מסומן ב-$f[A]$ או ב-$f(A)$ או לעיתים $f[A]=\{f(a):a\in A\}$.

היא הקבוצה של כל $f(a)$ כך ש־$a\in A$.

בלאגן

עבור פונקציה $f:X\to Y$,התמונה של ערך קלט $x$ הוא ערך הפלט היחיד המיוצר על ידי $f$ כאשר עבר $x$ . התמונה המוקדמת של ערך פלט $y$ הוא קבוצת ערכי הקלט שמייצרים $y$ .

באופן כללי יותר, הערכה $f$ בכל איבר של תת-קבוצה נתונה $A$ של התחום שלה $X$ מייצר סט, שנקרא " תמונה של $A$ מתחת (או דרך) $f$ ". באופן דומה, התמונה ההפוכה (או תמונה מקדימה ) של תת-קבוצה נתונה $B$ בטווח $Y$ הוא קבוצת כל האיברים של $X$ המפה הזו לחבר ב $B.$

התמונה של הפונקציה $f$ הוא קבוצת כל ערכי הפלט שהוא עשוי לייצר, כלומר התמונה של $X$ . התמונה המוקדמת של $f$, כלומר, הדימוי הקדום של $Y$ תַחַת $f$, תמיד שווה $X$ ( התחום של $f$ ); לכן, המושג הקודם משמש לעיתים רחוקות.

תמונה ותמונה הפוכה עשויים להיות מוגדרים גם עבור יחסים בינאריים כלליים, לא רק פונקציות.