משתמש:גיאומטריה1/טיוטה

חקירת הפונקציות הטריגונמטריות

פונקציית האקספוננט

האקספוננט היא הפונקציה $e^{x}$, שאפשר להגדיר בתור $\ e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$, ומזה נובע ש-$(e^{x})'=e^{x}$. (מקובל להגדיר בתור הגבול $\ e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ אבל זה דורש ידע נוסף כדי להוכיח). את תכונת הכפליות $\ e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}$ אפשר להוכיח מתכונת הנגזרת. $\ (e^{x+y})'=e^{x+y}$ כאשר נציב 0 ב-x ונפתח את טור טיילור של הפונקציה נקבל $\ e^{x+y}=e^{y}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{x}\cdot e^{y}$.

טור טיילור

טור טיילור הוא שימוש בפולינום כדי לקרב פונקציה. באופןן כללי הטור נבנה מפולינום שמקדמיו הם הפונקציה של x בנקודה כלשהי ונגזרותיה לפי הסדר, חלקי עצרת. כאשר ה-x של הפולינום הוא הערך של הארגומנט פחות הנקודה שנבחרה. אם בוחרים 0 אז זה נקרא טור מקלורן.

דוגמא פשוטה בפונקציה $e^{x}$ מאחר שהנגזרת שווה לעצמה, הטור הוא $1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$. מארח שהנגזרת בנקודה 0 היא 1 הפולינום לא דורש שום מקדם, מלבד חלוקה בעצרת. בפונקציית האקספוננט הטור מתכנס לכל x שהוא על פי מבחן המנה.

פונקציות זוגיות ואי זוגיות

פונקציה זוגית היא פונקציה בעלת הסימטריה $f(-x)=f(x)$ כמו החזקות הזוגיות. ופונקציה אי זוגית היא בעלת הסימטריה $f(-x)=-f(x)$ כמו החזקות האי זוגיות. כל פונקציה שקיימת בתחום סימטרי סביב 0 ניתן לפרק בצורה יחידה לסכום פונקציות זוגית ואי זוגית.

הפונקציות הם:

${\frac {f(x)+f(-x)}{2}}$ אי זוגית

${\frac {f(x)+f(-x)}{2}}$ זוגית.

סכום שתי הפונקציות הוא הפונקציה $f(x)$

פירוק האקספוננט לפונקציה זוגית ואי זוגית

האקספוננט הוא $e^{x}$ וההופכי הכפלי שלו הוא $e^{-x}$ לכן פירוק האקספוננט הוא בעצם: אקספוננט פחות ההפכי שלו חלקי 2 אי זוגי, אקספוננט פלוס ההופכי שלו חלקי 2 זוגי.

בנוסחאות:

${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ אי זוגי, ${\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ זוגי. פונקציות אלה נקראות גם בשם "פונקציות היפרבוליות".

הסינוס והקוסינוס ההיפרבוליים

מהפירוק של האקספוננט לזוגי ואי זוגי, אפשר לקבל שהפרש ריבוע הזוגית פחות ריבוע האי זוגית, הוא 1. לכן אפשר להגדיר את שתי הפונקציות על גרף ש-x יהיה הפונקציה הזוגית של t וy הפונקציה האי זוגית ומתקיים $x^{2}-y^{2}=1$ גרף זה הוא אחד מהדרכים לתאר היפרבולה. לכן מתאים לקרוא ל-x סינוס היפרבולי ול-y קוסינוס היפרבולי, בהשאלה מהפונקציות הטריגונמטריות ששמם נקבע מסיבת הגדרתם ההיסטורית

הוכחת הזהות

$({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}})^{2}-({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}})^{2}={\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2e^{0}-(e^{2x}+e^{-2x}-2e^{0})}{4}}=1$

אקספוננט מרוכב

$e^{x+yi}=e^{x}\cdot e^{y}i$ נתייחס כאן רק לחלק המדומה, על ידי טור טיילור של האקספוננט מתקבל שהוא הטור $1+yi+{\frac {yi^{2}}{2!}}+{\frac {yi^{3}}{3!}}+\cdots$ מתכונת המספר המדומה אנו רואים שכל החזקות הזוגיות הם מספר ממשי וכל האי זוגיות הם מספר מדומה, והטורים עם סימנים מתחלפים.

מתקבל הטור הזוגי: $1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-\cdots$

והטור האי זוגי: $(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots )i$ נקרא לחלק הממשי קוסינוס, ולחלק המדומה סינוס. קיבלנו שתי פונקציות חדשות אחד זוגית ואחת אי זוגית. (זוהי נוסחת אוילר)

הסינוס והקוסינוס הטריגונמטריים

ההגדרה ההיסטורית של הסינוס והקוסינוס היא על ידי מעגל, שלוקחים רבע ממנו, מותחים קו במקביל לרדיות ומעריכים אותו ביחס לרדיוס. אורך הקו ביחס לרדיוס תלוי באורך הקשת שמהרדיוס השוכב עד לקצה הקו, קו זה נקרא סינוס, אם מותחים מהנקודה שהסינוס פגע בה, קו נוסף במקביל לרדיוס השוכב ושפוגע ברדיוס העומד, גם הקו הזה תלוי בקשת המדוברת והוא גם סינוס של הקשת המשלימה. שאר הפונקציות הטריגונמטריות ניתנות לתיאור כמנה של שתי פונקציות אלה.

פונקציות טריגונומטריות

משפט פיתגורס

מכוח ההגדרה של הפונקציות הטריגונמטריות ונוסחת הפירוק של האקספוננט לפונקציה זוגית ואי זוגית, מתקבל $\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$ הזהות נכונה כי כשנקח את החלק האי זוגי ונעלה אותו בריבוע נקבל גם את ריבוע היחידה המדומה שהוא 1- לכן בהכפלה שלו בפונקציה מתקבל היפוך הסימן, מכלל זה נובע שאם הסינוס והקוסינוס מחוברים לקו באורך יחידה, הם משולש ישר זווית כמו לפי ההגדרה ההיסטורית של הסינוס והקוסינוס. כמו כן נובע מזה על פי ההגדרה הגיאומטרית של מעגל שכל הנקודות שעליו במרחק שווה ממרכזו, שאם תעשה מעגל שמרכזו בראשית הצירים במערכת קרטזית, אז אם הסינוס והקוסינוס יהיו על t נתון ה-x יהיה סינוס וה-y קוסינוס (או להיפך כי כאן זה סכום ולא הפרש ולא משנה הכיוון בניגוד להיפרבולה)

הזהויות הטריגונמטריות הבסיסיות

את הזהות $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$ וכן הזהות $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-sin(a)sin(b)$ אפשר להוכיח מהנוסחה $e^{(a+b)i}=e^{ai}\cdot e^{bi}$ כאשר לוקחים לחלק הממשי את הקוסינוס ולחלק המדומה את הסינוס. שאר הזהויות נובעות מהזהות הזו משיקולים אלגבריים.

הנגזרות של הסינוס והקוסינוס

כדי לגזור את הסינוס ניקח את הטור $y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots$ ונגזור איבר איבר, נקבל $1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-\cdots$ שהוא הטור של קוסינוס. נגזור שוב את הטור הזה ונקבל $-y+{\frac {y^{3}}{3!}}-{\frac {y^{5}}{5!}}+\cdots$ שהוא הטור של מינוס סינוס, הגזירות הבאות טריוויאליות.

מחזוריות הפונקציות הטריגונונמטריות

מאחר שראינו שפונקציות אלה מקבלות מספר מקסימלי 1 ומינימלי 1-, אפשר להוכיח שהם מחזוריות על ידי הגדרת הפונקציה $(e^{i})^{x}$ כאשר אנו רואים שלפני העלאה בחזקה של x הפתרון מרוכב, וחזקות של מספר מרוכב מחזוריות אם הערך המוחלט שלו נשאר תמיד 1. מכך ניתן להסיק שנקודות המקסימום והמינימום של הפונקציות רחוקות זו מזו במרחק שוה. מהנגזרות של הפונקציות רואים שכל נקודת קיצון באחת מהם היא נקודת אפס בשניה. אפשר כעת להגדיר את פאי בתור נקודת הקיצון הראשונה של קוסינוס שהיא נקודת האפס הראשונה של סינוס שאינה אפס. בכל כפולה של פאי הסינוס מתאפס והקוסינוס מקבל נקודת קיצון.

מכאן אפשר לראות שנקודת הקיצון הראשונה של סינוס היא ב-$\pi /2$ כי נקודות האפס שלה רחוקות מנקודת הקיצון במידה שווה, מכח מחזוריות החזקה של מספר מרוכב. כמו כן בפונקציית הקוסינוס יש שם נקודת 0 שהרי נקודות האפס של קוסינוס הם נקודות קיצון של סינוס.

הפונקציות הטריגומנומטריות ההפוכות

מאחר שהפונקציות מחזריות ואינם חד-חד-ערכיות, כדי להגדיר פונקציה הפוכה, יש להגדיר אותה על ידי בחירת פיתרונות יחידים. אפשר להגדיר אותם בטווח שבין 1 למינוס 1. את הנגזרת של הפונקציות מוצאים על ידי שימוש בכלל נגזרת של פונקציה הפיכה $(\arcsin(x))'={\frac {1}{\cos(y)}}={\frac {1}{\cos(\arcsin(x))}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ו$(\arccos(x))'={\frac {1}{-\sin(y)}}={\frac {1}{-\sin(\arccos(x))}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

חישוב היקף מעגל היחידה

כדי לחשב את היקף המעגל יש לחשב את אורך הקו של הגרף של מעגל היחידה, חישוב אורך הקו הוא על ידי האינטגרל $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$ כאשר 'y היא הנגזרת של הפונקציה שהקו הוא הגרף שלה, וa,b הם נקודות של x שהקו עובר ביניהם. נשתמש באינטגרל $\int \limits _{-1}^{1}{{\sqrt {1+{\bigl (}{\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}}{\bigr )}^{2}dx}=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1}{{\sqrt {1}}-x^{2}}}dx$ ונקבל מיידית את הפונקציה הקדומה $\arcsin(x)$ נציב בה 1 ו-1- ונחסר ונקבל $\pi$ זהו חצי מההיקף, כל ההיקף הוא $2\pi$.

חישוב שטח עיגול היחידה

ניתן לחשב על ידי האינטגרל $\int \limits _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}$ החישוב שלו מסובך יותר משל הקודם. אבל אפשר לעשות אינטגרל של פונקציה לינארית כי היקף המעגל פרופורציונלי לרדיוס שלו, ולכן אפשר להשתמש באינטגרל $\int \limits _{0}^{1}2\pi rdr=\pi r^{2}$. כאשר נציב 1 ב-r נקבל פאי למעגל יחידה.