משתמש:חגי הלמן/ארגז חול/משפט גיבארד-סאטרת'וויט

משפט גיבארד-סאטרת'וויט הוא משפט מתמטי בתחום הבחירה החברתית (שמהווה חלק מתורת המשחקים). בניסוח פשטני, משפט זה טוען שכל שיטה לקביעת האפשרות המועדפת על חברה על סמך סדר ההעדפות של כל פרט, שמאפשרת בחירה של כל אפשרות ואיננה דיקטטורה, ניתנת למניפולציה באמצעות הצבעה טקטית.

טענת המשפט המדוייקת

כדי להבין את משמעותו המתמטית המדוייקת של המשפט, יש להבין את המושגים שבהם משתמש המשפט, ואת הנוסח המדוייק שלו.

הגדרות

סדר העדפות הוא סידור מסויים של כל האפשרויות שעומדות בפני הקבוצה, מהרצויה לבלתי רצויה.

חתך העדפות הוא פירוט סדר ההעדפות של כל פרט בחברה.

שיטת בחירה היא פונקציה שמתאימה לחתך העדפות של החברה אפשרות מסויימת, שהיא הבחירה החברתית.

שיטה מונעת היא שיטה שעבורה פונקצית השיטה איננה על, או במילים אחרות: לא עבור כל אפשרות, קיים חתך העדפות שעבורו היא תהיה הבחירה החברתית. בשיטה מונעת יש אפשרויות בחירה שלא יכולות להיבחר.

דיקטטורה היא שיטת בחירה שבה קיים פרט שהבחירה החברתית זהה תמיד לאפשרות שבראש סדר ההעדפות שלו.

שיטה ניתנת למניפולציה היא שיטה שבה קיים חתך העדפות ופרט מסויים, כך שאם פרט זה (והוא בלבד) משנה את סדר ההעדפות שלו וממקם אפשרות כלשהי במקום נמוך יותר מקודם, הוא הופך אותה לבחירה החברתית.

נוסח המשפט

הנוסח המדויק של משפט גיבארד-סאטרת'וויט, תוך שימוש בהגדרות לעיל, הוא כזה:

בהינתן שלוש אפשרויות או יותר, כל שיטת בחירה היא דיקטטורית, מונעת או ניתנת למניפולציה.

הוכחת המשפט

ראו גם

• משפט ארו

קישורים חיצוניים

• הוכחה משותפת למשפטי ארו וגיבארד-סאטרת'וויט