נתון:
a n → L {\displaystyle a_{n}\rightarrow L}
L > 0 {\displaystyle L>0}
צ"ל:
קיים n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } כך שלכל n > n o {\displaystyle n>n_{o}} מתקיים a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} .
הוכחה:
נתון a n → L {\displaystyle a_{n}\rightarrow L} , אז מהגדרת הגבול לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים n 1 ∈ N {\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} } כך שלכל n > n 1 {\displaystyle n>n_{1}} מתקיים | a n − L | < ε {\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon } , ובפרט עבור ε = L 2 {\displaystyle \varepsilon ={\frac {L}{2}}} .
אזי L − L 2 < a n < L + L 2 {\displaystyle L-{\frac {L}{2}}<a_{n}<L+{\frac {L}{2}}} ולכן L 2 < a n < 3 L 2 {\displaystyle {\frac {L}{2}}<a_{n}<{\frac {3L}{2}}} .
והרי נתון ש- L > 0 {\displaystyle L>0} ולכן גם L 2 > 0 {\displaystyle {\frac {L}{2}}>0} . מכאן נובע שהחל מ- n 1 {\displaystyle n_{1}} מתקיים a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} . מש"ל.
