משתמש:יחס הזהב/טיוטה4

שאלה 1 עריכה

נתון:
1. $x\in A$
2. $(A\triangle B)\cap C=\emptyset$ .
צ"ל: $x\in B\leftarrow x\in C$

הוכחה:

יהי $x$ שרירותי. נתון $x\in A$ ונניח $x\in C$ .

נתון $(A\triangle B)\cap C=\emptyset$ . אז מהגדרת הפרש סימטרי $(A\cup B\setminus A\cap B)\cap C=\emptyset$ , כלומר: $x\notin (A\cup B\setminus A\cap B)\cap C$ . אבל מהנחה $x\in C$ אז מהגדרת חיתוך $x\notin (A\cup B\setminus A\cap B)$ .

מהגדרת הפרש $x\notin A\cup B$ או $x\in A\cup B)$ וגם $(x\in A\cap B$ . אבל נתון $x\in A$ אז מהגדרת העצמי $x\in A\cup B$ . לכן $x\in A\cup B$ וגם $x\in A\cap B$ . מהגדרת חיתוך $x\in A$ וגם $x\in B$ . מש"ל.

שאלה 2 עריכה

צ"ל:
${\mathcal {P}}(A\setminus B)\subseteq ({\mathcal {P}}(A)\setminus {\mathcal {P}}(B))\ \cup \ \left\{\emptyset \right\}$

הוכחה:

יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in {\displaystyle {\mathcal {P}}(A\setminus B)}$ , אז מהגדרת קבוצת חזקה $x\subseteq A\setminus B$ . נפצל למקרים:

$x\neq \emptyset$ :
מהגדרת הכלה לכל $y\in x$ מתקיים $y\in A\setminus B$ . אז מהגדרת הפרש $y\in A$ וגם $y\notin B$ . אז מהגדרת הכלה $x\subseteq A$ וגם $x\not \subseteq B$ . אז מהגדרת קבוצת חזקה $x\in {\mathcal {P}}(A)$ וגם $x\notin {\mathcal {P}}(B)$ . אז מהגדרת הפרש $x\in {\mathcal {P}}(A)\setminus {\mathcal {P}}(B)$ . אז מהגדרת העצמי $x\in ({\mathcal {P}}(A)\setminus {\mathcal {P}}(B))\ \cup \ \left\{\emptyset \right\}$ . מש"ל.

$x=\emptyset$ :
אגף שמאל: הנחנו $x\in {\displaystyle {\mathcal {P}}(A\setminus B)}$ וגם $x=\emptyset$ אז $\emptyset \in {\mathcal {P}}(A\setminus B)$ .
אגף ימין: $({\mathcal {P}}(A)\setminus {\mathcal {P}}(B))\ \cup \ \left\{\emptyset \right\}$ . ברור ש- $\emptyset \in \left\{\emptyset \right\}$ אז מהגדרת האיחוד $\emptyset \in ({\mathcal {P}}(A)\setminus {\mathcal {P}}(B))\ \cup \ \left\{\emptyset \right\}$ . מש"ל.

שאלה 3 עריכה

נתון:

1. $\{A_{i}\}_{i\in I}$ קבוצה של קבוצות.
2. $I\neq \emptyset$ .
3. תהי $B$ קבוצה.

צ"ל: $B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}(B\setminus A_{i})$ הוכחה:

$\Rightarrow$ : יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}$ . לפי הגדרת הפרש $x\in B$ וגם $x\notin \bigcap _{i\in I}A_{i}$ . אז לפי הגדרת חיתוך אונארי $\exists A_{i}\in A:x\notin A_{i}$ . לכן, ומכך ש- $x\in B$ , אז קיים $A_{i}$ כך ש- $x\in B\setminus A_{i}$ ומהגדרת איחוד אונארי $x\in \bigcup _{i\in I}(B\setminus A_{i})$ . הראנו שלכל $x\in B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}$ מתקיים $x\in \bigcup _{i\in I}(B\setminus A_{i})$ . אז מהגדרת הכלה: $B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}\subseteq \bigcup _{i\in I}(B\setminus A_{i})$ .

$\Leftarrow$ : יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in \bigcup _{i\in I}(B\setminus A_{i})$ . אז לפי הגדרת הפרש $x\in B$ וגם $x\notin \bigcup _{i\in I}A_{i}$ . אז מהגדרת איחוד אונארי $\forall A_{i}\in A:x\notin A_{i}$ . נפצל למקרים:

$A=\emptyset$ : אז מהגדרת חיתוך אונארי $\bigcap _{i\in I}A_{i}=\emptyset$ אז מהגדרת הפרש $B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=B$ ומהנחה ש- $x\in B$ נובע $x\in B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}$ .
$A\neq \emptyset$ : הראנו קודם ש- $\forall A_{i}\in A:x\notin A_{i}$ והנחנו $A\neq \emptyset$ אזי, $\exists A_{i}\in A:x\notin A_{i}$ , אז מהגדרת חיתוך אונארי $x\notin \bigcap _{i\in I}A_{i}$ . הנחנו $x\in B$ אז מהגדרת הפרש $x\in B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}$ .

הראנו הכלה דו־כיוונית ולכן $B\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}(B\setminus A_{i})$ . מש"ל.

שאלה 4 עריכה

צ"ל:

$\bigcup {\mathcal {F}}\subseteq B\Leftarrow {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(B)$

הוכחה:

נניח ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(B)$ . מהגדרת הכלה $\forall x\in {\mathcal {F}}:x\in {\mathcal {P}}(B)$ אז $x\in {\mathcal {P}}(B)\Leftarrow x\in {\mathcal {F}}$ .

מהגדרת קבוצת חזקה $\forall x\in {\mathcal {P}}(B):x\subseteq B$ אז $x\subseteq B\Leftarrow x\in {\mathcal {P}}(B)$ .

לפיכך $x\subseteq B\Leftarrow x\in {\mathcal {P}}(B)\Leftarrow x\in {\mathcal {F}}$ .

מהגדרת הכלה $\forall y\in x:y\in B$ אז $y\in B\Leftarrow y\in x$ .

יהי $y$ שרירותי. נניח $y\in \bigcup {\mathcal {F}}$ .

מהגדרת איחוד אונארי $\bigcup {\mathcal {F}}=\{y\mid \exists x\in {\mathcal {F}}:y\in x\}$ . אז מכך ש- $y\in \bigcup {\mathcal {F}}$ נובע $y\in x$ . אבל הראנו ש- $y\in B\Leftarrow y\in x$ , אזי $y\in B$ . מש"ל.

שאלה 5 עריכה

נתון:

1. ${\mathcal {F}}$ ו- ${\mathcal {G}}$ קבוצות לא ריקות של קבוצות.

צ"ל: $\bigcup ({\mathcal {F}}\ \cup \ {\mathcal {G}})=\bigcup {\mathcal {F}}\cup \ \bigcup {\mathcal {G}}$

הוכחה:

$\Rightarrow$ : יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in \bigcup ({\mathcal {F}}\ \cup \ {\mathcal {G}})$ . אז מהגדרת איחוד אונארי $\exists y\in ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}):x\in y$ . מהגדרת איחוד $y\in {\mathcal {F}}$ או $y\in {\mathcal {G}}$ . נפצל למקרים:

$y\in {\mathcal {F}}$ : הראנו $x\in y$ אז לפי הגדרת איחוד אונארי $x\in \bigcup {\mathcal {F}}$ . אז מהגדרת איחוד $x\in \bigcup {\mathcal {F}}\cup \ \bigcup {\mathcal {G}}$ .
$y\in {\mathcal {G}}$ : הראנו $x\in y$ אז לפי הגדרת איחוד אונארי $x\in \bigcup {\mathcal {G}}$ . אז מהגדרת איחוד $x\in \bigcup {\mathcal {F}}\cup \ \bigcup {\mathcal {G}}$ .

$\Leftarrow$ : יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in \bigcup {\mathcal {F}}\cup \ \bigcup {\mathcal {G}}$ . מהגדרת איחוד $x\in \bigcup {\mathcal {F}}$ או $x\in \bigcup {\mathcal {G}}$ . נפצל למקרים:

$x\in \bigcup {\mathcal {F}}$ : אז מהגדרת איחוד אונארי $\exists y\in {\mathcal {F}}:x\in y$ . אז מהגדרת איחוד $y\in {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ והראנו $x\in y$ אזי מהגדרת איחוד אונארי $x\in \bigcup ({\mathcal {F}}\ \cup \ {\mathcal {G}})$ .
$x\in \bigcup {\mathcal {G}}$ אז מהגדרת איחוד אונארי $\exists y\in {\mathcal {G}}:x\in y$ . אז מהגדרת איחוד $y\in {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ והראנו $x\in y$ אזי מהגדרת איחוד אונארי $x\in \bigcup ({\mathcal {F}}\ \cup \ {\mathcal {G}})$ .

הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן הקבוצות שוות.

שאלה 6 עריכה

צ"ל: $\exists !X:A\vartriangle X=A$

הוכחה:

נראה שקיים $X$ עבורו הטענה מתקיימת.

נניח $X=\emptyset$ .

$\Leftarrow$ : יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in A\vartriangle X$ . מהגדרת הפרש סימטרי $x\in A\setminus X\cup X\setminus A$ . מהגדרת הפרש $x\in A)$ וגם $(x\notin X$ או $x\in X)$ וגם $(x\notin A$ . הנחנו $X=\emptyset$ אז מהגדרת הקבוצה הריקה $!\exists x\in X$ ולכן בהכרח $x\in A)$ וגם $(x\notin X$ . אז מהגדרת "וגם" $x\in A$ .

$\Rightarrow$ : יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in A$ . הנחנו $X=\emptyset$ , אז מהגדרת הפרש $x\in A\setminus X$ וגם $x\notin X\setminus A$ . מהגדרת איחוד $x\in A\setminus X\cup X\setminus A$ . מהגדרת הפרש סימטרי $x\in A\vartriangle X$ .

הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן עבור $X=\emptyset$ מתקיים $A\vartriangle X=A$ . כלומר הראנו שקיים $X$ המקיים את הטענה. נותר להראות שלא קיים עוד $X$ כזה.

נניח בשלילה ש- $\exists X:(A\vartriangle X=A)\land (X\neq \emptyset )$ . נפצל למקרים:

$A\cap X=\emptyset$ : הנחנו $X\neq \emptyset$ אז מהגדרת הקבוצה הריקה $\exists y:y\in X$ . אז מהגדרת האיחוד $y\in A\cup X$ . הנחנו $A\cap X=\emptyset$ אז $A$ זרה ל- $X$ ולכן $\neg \exists z:z\in X\land z\in A$ או באופן שקול $\forall z:z\notin X\lor z\notin A$ . אז מכך ש- $y\in X$ נובע $y\notin A$ . מהגדרת האיחוד $y\in A\cup X$ והנחנו $A\cap X=\emptyset$ אז מהגדרת הפרש $y\in A\cup X\setminus A\cap X$ אז מהגדרת הפרש סימטרי $y\in A\vartriangle X$ . אבל הראנו ש- $y\notin A$ . אזי $A\vartriangle X\neq A$ וזאת בסתירה להנחה.
$A\cap X\neq \emptyset$ : אז מהנחה $\exists x:x\in A\cap X$ . מהגדרת חיתוך $x\in A$ וגם $x\in X$ אז מהגדרת איחוד $x\in A\cup B$ . אז מהגדרת הפרש $x\notin A\cup X\setminus X\cap A$ אז מהגדרת הפרש סימטרי $x\notin A\vartriangle X$ . אבל הראנו ש- $x\in A$ . אזי $A\vartriangle X\neq A$ וזאת בסתירה להנחה.

אזי $\neg \exists X\neq \emptyset :A\vartriangle X=A$ לכן $X=\emptyset$ הוא היחיד המקיים את $A\vartriangle X=A$ . מש"ל.

שאלה 7 עריכה

נתון:

1. תהי $A$ קבוצה ו- ${\mathcal {F}}$ קבוצה של קבוצות.

2. $A\in {\mathcal {F}}\Leftarrow \bigcup {\mathcal {F}}=A$

צ"ל:

$\exists !x:x\in A$

הוכחה:

נניח בשלילה $\neg \exists x:x\in A\$ אז משלילת כמתים $\forall x:x\notin A\$ אז מהגדרת קבוצה ריקה $A=\emptyset$ .

נניח $A\in {\mathcal {F}}\Leftarrow \bigcup {\mathcal {F}}=A$ מההנחה ש- $A=\emptyset$ נובע $\bigcup {\mathcal {F}}=\emptyset$ . אז מהגדרת איחוד אונארי $\lnot \exists x:\exists y\in {\mathcal {F}}:x\in y$ אזי $y=\emptyset$ ולכן ${\mathcal {F}}=\emptyset$ .

מהגדרת קבוצה ריקה $\emptyset \notin {\mathcal {F}}$ . וזו בסתירה להנחה - לפיכך קיים $x\in A$ . נניח בשלילה שקיים $y\in A$ כך ש- $x\neq y$ .

נסמן קבוצה $B=A\setminus \{x,y\}$ . עבור הקבוצה ${\mathcal {F}}=\{\{x\},\{y\},B\}$ מתקיים לפי הגדרת איחוד אונארי $\bigcup {\mathcal {F}}=\{x\}\cup \{y\}\cup B\$ .

מההנחה $\bigcup {\mathcal {F}}=A$ אז $A=\{x\}\cup \{y\}\cup B\$ . אבל $A\notin {\mathcal {F}}$ וזו בסתירה להנחה - לפיכך $x=y$ .

הראנו שקיים $x\in A$ ולכל $y\in A:y=x$ ולכן הוכחנו קיום יחידות. מש"ל.

שאלה 8 סעיף א' עריכה

צ"ל: $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$

הוכחה:

יהי $<x,y>$ זוג סדור שרירותי.

$\Rightarrow$ : נניח $<x,y>\in A\times (B\setminus C)$ . אז מהגדרת קבוצת חזקה $x\in A$ וגם $y\in B\setminus C$ . אז מהגדרת הפרש $y\in B$ וגם $y\notin C$ . אז מהגדרת מכפלה קרטזית $<x,y>\in A\times B$ וגם $<x,y>\notin A\times C$ אז מהגדרת הפרש $<x,y>\in (A\times B)\setminus (A\times C)$ .

$\Leftarrow$ : $<x,y>\in (A\times B)\setminus (A\times C)$ אז מהגדרת הפרש $<x,y>\in (A\times B)$ וגם $<x,y>\notin (A\times C)$ . אז מהגדרת מכפלה קרטזית $x\in A)$ וגם $(y\in B$ וגם $x\notin A)$ או $(y\notin C$ אבל הראנו ש- $x\in A$ אז בהכרח $y\notin C$ . אז מהגדרת הפרש $y\in B\setminus C$ . אז מהגדרת מכפלה קרטזית $<x,y>\in A\times (B\setminus C)$ .

הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן הקבוצות שוות.

שאלה 8 סעיף ב' עריכה

צ"ל: $(A\cap C=\emptyset )\lor (B\cap D=\emptyset )\Leftarrow (A\times B)\cap (C\times D)=\emptyset$

נוכיח על דרך הקונטרה פוזיטיב: $\neg ((A\times B)\cap (C\times D)=\emptyset )\Leftarrow \neg ((A\cap C=\emptyset )\lor (B\cap D=\emptyset ))$ . נפשט לפי זהויות לוגיות:

רישא: $\neg ((A\cap C=\emptyset )\lor (B\cap D=\emptyset ))\equiv \ \neg (A\cap C=\emptyset )\land \neg (B\cap D=\emptyset )\equiv \ (A\cap C\neq \emptyset )\land (B\cap D\neq \emptyset )$
סיפא: $\neg ((A\times B)\cap (C\times D)=\emptyset )\equiv (A\times B)\cap (C\times D)\neq \emptyset$