משתמש:יחס הזהב/טיוטה5

נתון:

1. $A$ קבוצה.

צ"ל: $\exists !X:A\vartriangle X=A$

הוכחה:

נראה שקיים $X$ עבורו הטענה מתקיימת.

נניח $X=\emptyset$.

$\Leftarrow$: יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in A\vartriangle X$. מהגדרת הפרש סימטרי $x\in A\setminus X\cup X\setminus A$. מהגדרת הפרש $x\in A)$ וגם $(x\notin X$ או $x\in X)$ וגם $(x\notin A$. הנחנו $X=\emptyset$ אז מהגדרת הקבוצה הריקה $!\exists x\in X$ ולכן בהכרח $x\in A)$ וגם $(x\notin X$. אז מהגדרת "וגם" $x\in A$.

$\Rightarrow$: יהי $x$ שרירותי. נניח $x\in A$. הנחנו $X=\emptyset$, אז מהגדרת הפרש $x\in A\setminus X$ וגם $x\notin X\setminus A$. מהגדרת איחוד $x\in A\setminus X\cup X\setminus A$. מהגדרת הפרש סימטרי $x\in A\vartriangle X$.

הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן עבור $X=\emptyset$ מתקיים $A\vartriangle X=A$. כלומר הראנו שקיים $X$ המקיים את הטענה. נותר להראות שלא קיים עוד $X$ כזה.

נניח בשלילה ש-$\exists X:(A\vartriangle X=A)\land (X\neq \emptyset )$. נפצל למקרים:

• $A\cap X=\emptyset$: הנחנו $X\neq \emptyset$ אז מהגדרת הקבוצה הריקה $\exists y:y\in X$. אז מהגדרת האיחוד $y\in A\cup X$. הנחנו $A\cap X=\emptyset$ אז $A$ זרה ל-$X$ ולכן $\neg \exists z:z\in X\land z\in A$ או באופן שקול $\forall z:z\notin X\lor z\notin A$. אז מכך ש-$y\in X$ נובע $y\notin A$. מהגדרת האיחוד $y\in A\cup X$ והנחנו $A\cap X=\emptyset$ אז מהגדרת הפרש $y\in A\cup X\setminus A\cap X$ אז מהגדרת הפרש סימטרי $y\in A\vartriangle X$. אבל הראנו ש-$y\notin A$. אזי $A\vartriangle X\neq A$ וזאת בסתירה להנחה.
  
• $A\cap X\neq \emptyset$: אז מהנחה $\exists x:x\in A\cap X$. מהגדרת חיתוך $x\in A$ וגם $x\in X$ אז מהגדרת איחוד $x\in A\cup B$. אז מהגדרת הפרש $x\notin A\cup X\setminus X\cap A$ אז מהגדרת הפרש סימטרי $x\notin A\vartriangle X$. אבל הראנו ש-$x\in A$. אזי $A\vartriangle X\neq A$ וזאת בסתירה להנחה.

אזי $\neg \exists X\neq \emptyset :A\vartriangle X=A$ לכן $X=\emptyset$ הוא היחיד המקיים את $A\vartriangle X=A$. מש"ל.