משתמש:יחס הזהב/משוואות ומטריצות

מערכת הומוגניתעריכה

  • במערכת הומוגנית אם   ו-  הם פתרונות אז גם   הוא פתרון.
  • אם   הוא פתרון אז לכל סקלר   גם   הוא פתרון.
  • רק במערכת משוואות הומוגנית אם יש יותר נעלמים ממשוואות אז יש אינסוף פתרונות. אם היא לא הומוגנית יכולה להיות סתירה.
  • לכל משוואה הומוגנית יש לפחות פתרון אחד - הפתרון הטרוויאלי.
  • מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי, אז יש לה אינסוף פתרונות.
  • מעל שדה סופי בגודל  , מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של  .

מטריצה ריבועיתעריכה

הפיכותעריכה

  • מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית.
  • מטריצת האפס לא הפיכה, מטריצת היחידה כן הפיכה.
  • למטריצה הפיכה אין שורת אפסים.
  • לכל מטריצה יש הופכית יחידה.
  • לכל מטריצה אלמנטרית קיימת מטריצה הפוכה
  • AB הפיכה אם"ם A הפיכה וגם B הפיכה - חשוב!!!

תכונות אלגבריותעריכה

  •  
  •  
  • לכל סקלר   מתקיים  
  •  

סימטריה ואנטי סימטריהעריכה

  • מטריצה אנטי-סימטרית היא  
  • מטריצה סימטרית היא  
  • מטריצה סימטרית ומטריצה אנטי-סמיטרית חייבות להיות ריבועיות.

תכונות שחלוףעריכה

  •  .
  •  .
  •  
  •  

טיפיםעריכה

טיפ: מבקשים דוגמה נגדית על מטריצה הפיכה, תן דוגמה נכונה עם מטריצה לא ריבועית, ואז בוודאי גם לא הפיכה.

טיפ: לפעמים עוזר למצוא דוגמאות נגדיות עם מטריצות בעלות שורות אפסים.