משתמש:עשו/חידת האסיר הבורח

כעת נגדיר פונקציה שמציינת עבור מצב יחסי $(r,\theta )$ את מידת היתרון הזמני שיש לאסיר על פני הסוהר: $f(r,\theta )=T_{2}-T_{1}={\frac {R\theta }{kv}}-{\frac {R-r}{V}}$ אילו מגיעים למצב בו $f(r,\theta )>0$, האסיר יוכל לברוח. האסיר צריך לנוע בנתיב כזה שיגדיל ככל הניתן את $f(r,\theta )$. נניח שכעת האסיר ינוע בזווית הטייה α ביחס למשיק למעגל עליו הוא נמצא בנקודה בו הוא נמצא. אזי השינוי $\triangle f(r,\theta )$ כעבור זמן dt הוא : $\triangle f(r,\theta )={\frac {R}{kV}}(-\omega dt+{\frac {V}{r}}\cos \alpha dt)+V\sin \alpha dt/V$. לפיכך השינוי הוא מקסימלי כאשר: ${\frac {R}{kr}}\cos \alpha +\sin \alpha$ הוא מקסימלי. נגזור לפי α ונקבל : tan α = kr/R. לכן מסלול האסיר בקואורדינטות פולריות מקיים לפיכך: ${\frac {dr}{d\theta }}=r\tan \alpha ={\frac {k}{R}}r^{2}$.