משתמש:עשו/טיוטה

נכתוב את המשוואות הדיפרנציאליות שמתארות את התנועה בקואורדינטות פולריות ממערכת הייחוס של הטיל המיירט. נסמן ב- (r(t את המרחק הרגעי וב-θ את הזווית שיוצר וקטור המהירות של המטרה עם (r(t כוקטור. מכיוון שהטיל נע תמיד בכיוון (r(t מהירות ההתקרבות היחסית כתלות בזווית θ היא: $\ dr/dt=-V+U\cos(\theta (t))$ ואילו השינוי בזווית θ במשך הזמן dt הוא $\ U\ \sin(\theta (t))dt/(r(t))$ (שכן המטרה נעה בקו ישר). נחלק את dr/dt ב-dθ/dt ונקבל: $dr/d\theta =r(t)(\cot \theta -\beta /sin\theta$ כאשר β הוא יחס המהירויות β = V/U. מכאן נקבל על ידי אינטגרציה :

$\ \ln(r/r_{0})=\int dr/r=\int d\theta (\cot \theta -\beta /\sin \theta )$

כאשר האינטגרציה על dr/r היא בין הגבולות r₀ ל-r והאינטגרציה על הפונקציה הזוויתית היא בין הגבולות θ₀ ל(r) θ. תוצאת האינטגרציה היא:

$\ \ln(\sin \theta )-\beta /2\ln(1-\cos \theta )/(\cos \theta +1)))$ ,כאשר ההפרש הוא בין הגבולות θ₀ ו-.(r) θ שימוש בזהויות הלוגריתמים ופישוט נותן:

$r=r_{0}\sin \theta _{0}/sin\theta *(cos\theta +1)^{\beta /2}/(1-cos\theta )^{\beta /2}*(1-cos\theta _{0})^{\beta /2}/(cos\theta _{0}+1)^{\beta /2}$

פישוט נוסף נותן:

$r=r_{0}sin\theta _{0}/sin\theta *(cot^{\beta }(\theta /2))/cot^{\beta }(\theta _{0}/2)$

ניתן לראות ש-r = 0 כאשר θ = 0 או θ = π, דהיינו בהתנגשות חזיתית או במרדף-זנב.

משך הזמן שעובר עד שהטיל פוגע במטרה מתקבל באמצעות הצבת r(θ) בקשר : $dt=r({\theta })d{\theta }/Usin{\theta }$ ואינטגרציה בין הגבולות 0 = θ ו-θ₀ .

$T=r_{0}sin\theta _{0}/Ucot^{\beta }(\theta _{0}/2)\int d\theta (cot^{\beta }(\theta /2)/(sin\theta )^{2}$

נציב $u=cot({\theta /2})$ ונקבל $du=d\theta /2sin^{2}{\theta /2}$ ומתקיים $sin\theta =2sin(\theta /2)cos(\theta /2)$ הצבה באינטגרל נותנת:

$T=r_{0}sin\theta _{0}/Ucot^{\beta }(\theta _{0}/2)\int 1/2du*u^{\beta -2}(1+u^{2})$

כאשר האינטגרציה היא בין 0 ל-cot(θ₀/2) התוצאה לזמן הפגיעה היא:

$T=r_{0}sin\theta _{0}/2Ucot^{\beta }(\theta _{0}/2)*(cot^{\beta +1}(\theta _{0}/2)/(\beta +1)+cot^{\beta -1}(\theta _{0}/2)/(\beta -1))$