משתמש:עשו/סחיפת סטוקס

סחיפת סטוקס

סחיפת סטוקס (לחץ כאן להפעלת האנימציה).

ניתן ליישם את עקרונות התאוריה הלינארית של איירי גם כדי להשיג קירוב טוב של אפקטים לא לינאריים הקשורים בגלי ים. למשל, ניתן להיעזר בפתרון היסודי של איירי כדי לקבל אומדן לסחיפת סטוקס (Stokes drift) - תופעה בה המהירות האופקית הממוצעת של אלמנט מים שונה מאפס, כך שמתקבלים מסלולים פתוחים ונוצרת "סחיפה" של אלמנטי הזורם בזמן - מעבר מים נטו בכיוון התקדמות הגל. למעשה, מה שמבדיל את תאוריית הגלים של סטוקס מתאוריית הגלים של איירי הוא התחשבות בשיפוע הלא זניח של הגל. בפיתוח התאוריה של איירי, הזנחנו את שיפוע הגל בקבלת התנאי הקינמטי השלישי (על מהירות אלמנט זורם בסמוך לפני המים), ובחלק זה נבצע אנליזה כללית ומדויקת יותר בגבול של מים עמוקים.

התופעה של סחיפת סטוקס בגלים אינה מיוחדת רק לגלי מים, אף כי במקור ג'ורג' גבריאל סטוקס גילה אותה ב-1847 במחקרו המתמטי המעמיק על גלי ים לא לינארים. בגלי קול קיימת תופעה דומה של סחיפה כאשר מניחים שאמפליטודת הלחץ של הקול אינה זניחה ביחס ללחץ האטמוספירי - או לחלופין שמהירות אלמנטי האוויר אינה זניחה ביחס למהירות הקול; גם אם המהירות הממוצעת של שדה המהירות בנקודה כלשהי היא אפס, המסלול של חלקיק הנע בכל נקודה במהירות הזרימה המקומית לא יהיה בהכרח חסום. במובן זה, אפקט הסחיפה של חלקיק נגזר מן ההבדל בין התיאור הלגראנז'י והאוילרי של שדה הזרימה. קל להבין זאת כאשר לוקחים שני מקרי קיצון - הראשון כאשר אמפליטודת המהירות בנקודה (x,t) אפסית והשני כאשר אמפליטודת המהירות שווה למהירות הקול. במקרה הראשון נקבל שהאלמנט מתנודד הרמונית מסביב לנקודת שיווי המשקל שלו, ואילו במקרה השני נקבל שהחלקיק מתקדם במהירות הגל הנושא של שדה הזרימה - כך שמבחינתו הגל נייח - ולכן מהירותו לא צריכה להשתנות כלל, אלא שהיא עומדת על ערך קבוע ששווה למהירות הסחיפה.

כלומר, כאשר החלקיק נע בכיוון התקדמות הגל מהירותו משתנה לאט יותר מאשר כאשר הוא נע בניגוד לתנועת הגל, והיא יורדת בקצב שתלוי במהירות היחסית בינו לבין הגל. כיוון שכך, החלקיק שוהה זמן רב יותר בתנועה עם הגל מאשר בתנועה בניגוד לכיוון הגל. הדבר מאפשר לו לגמוע מרחק רב יותר בהתקדמות עם הגל לעומת המרחק שהוא חוזר אחורנית כאשר הוא נע בניגוד אליו. התוצאה של האסימטריה הזאת היא התקדמות נטו של החלקיק בכיוון האופקי בכל מחזור גלי.

סחיפת סטוקס במים רדודים, כאשר אורך הגל גדול משמעותית מעומק המים. לחץ כאן להפעלת האנימציה. שים לב שמחזור הגל, שחווה אלמנט זורם בסמוך לפני המים, שונה מזמן המחזור במיקום אופקי קבוע. זה אודות לתוצא דופלר.

בדומה לכך, כאשר מניחים כי המהירות האופקית המרבית של אלמנטי זורם בסמוך לפני השטח של גל מים אינה זניחה ביחס למהירות המופע של הגל, מתקבלת סחיפת מים נטו בכיוון התקדמות הגל. התנאי האחרון שקול להנחה ששיפוע הגל אינו זניח, כי:

${\frac {\omega \cdot a}{\omega /k}}=ka$

ו-ka הוא הפקטור שאחראי לתלילות הגל. כדי להעריך את הסחיפה בפני המים, נרשום את הביטוי שהתקבל בפתרון של איירי למהירות האופקית של אלמנט זורם:

$u_{x}=a\omega {\frac {cosh(k(h+z))}{sinh(kh)}}cos(kx-\omega t)=a\omega f(z)cos(kx-\omega t)$

כאשר (f(z היא פונקציה שתלויה רק בעומק, שבגבול של מים עמוקים היא שווה ל-1 כאשר z = 0. כעת נפתח את הנגזרת הזמנית של ההסחה האופקית ${\frac {\partial \epsilon (x,z,t)}{\partial t}}$ של אלמנט זורם בטור טיילור מסביב לנקודה (t = T,x = 0,z = 0):

$u_{x}(t)={\frac {\partial \epsilon (x,z,t)}{\partial t}}\approx u_{x}(T)+{\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}t=u_{x}(T)+t({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\cdot {\frac {\partial z}{\partial t}})=a\omega cos(kx-\omega t)+2asin(kx-\omega t)\cdot ak\omega sin(kx-\omega t)$.

לאיבר הראשון באגף ימין יש ממוצע אפס כאשר ממצעים אותו על פני מחזור גל אחד. לעומת זאת, לאיבר השני, דהיינו הביטוי $2k\omega a^{2}sin^{2}(kx-\omega t)$, ישנו ממוצע זמני שונה מאפס, שערכו: $k\omega a^{2}$, וזהו איבר הסחיפה. איבר הסחיפה הזה, שיחסי לאמפליטודה של הגל בריבוע, נקרא מהירות הסחיפה. שים לב שכדי לחשב את אפקט הסחיפה בעומק שרירותי z יש להכפיל ב-$f^{2}(z)$, וכך מתקבלת הסחיפה בעומק z: ${\bar {\boldsymbol {u}}}_{S}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\omega \,k\,a^{2}\,{\frac {\cosh \,2\,k\,(z+h)}{\sinh ^{2}\,(k\,h)}}\,$.

כלומר הדעיכה של אפקט הסחיפה עם העומק היא יותר חזקה מאשר הדעיכה של המהירות האופקית עם העומק; מהירות הסחיפה דועכת בקירוב לפי $e^{-2kz}$ בעוד מהירות האלמנטים יורדת לפי $e^{-kz}$.

אפקט נוסף שקשור לרעיונות מאחורי הפיתוח הזה קשור בהבדל בזמן המחזור של הגל שחווה אלמנט זורם בסמוך לפני המים לעומת זמן המחזור של הגל מנקודת מבט אוילרית. זמן המחזור של הגל שיחווה אלמנט זורם יהיה ארוך יותר מהמחזור שימדוד צופה חיצוני. אפקט זה הוא אודות לתוצא דופלר.

גישה אחרת

נכתוב את התדירות הזוויתית ה-"אפקטיבית" כתוצאה ממהירות ההתקדמות של החלקיק:

$\omega _{eff}={\frac {\partial \theta }{\partial t}}=ku_{x}-\omega =ku_{0}cos(\theta )-\omega$

נמצע את המהירות האופקית על פני מחזור גל אחד:

$u_{drift}=<u_{x}dt>={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}u_{x}dt$.

את הדיפרנציאל dt ניתן להביע במונחי הדיפרנציאל של הפאזה $\theta$ כך: $dt={\frac {d\theta }{d\theta /dt}}$. מתקיים: $u_{x}=u_{0}sin\theta$ ו-: ${\frac {d\theta }{dt}}=k(V-u_{x})=k(V-u_{0}sin\theta )$. מכאן:

$u_{x}dt={\frac {u_{0}sin\theta }{k(V-u_{0}sin\theta )}}d\theta$, תחת ההנחה שמהירות האלמנט נמוכה מאוד בהשוואה למהירות הגל V, מותר לקרב את הביטוי על ידי קירוב מסדר ראשון: ${\frac {1}{V-u_{0}sin\theta }}\approx {\frac {1}{V}}+{\frac {u_{0}sin\theta }{V^{2}}}$, על כן נקבל:

$u_{drift}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}u_{x}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }({\frac {u_{0}sin\theta }{kV}}+{\frac {u_{0}^{2}sin^{2}\theta }{kV^{2}}})d\theta ={\frac {u_{0}^{2}}{2kV^{2}}}$.

במעבר האחרון נעזרנו בעובדה ש-: $<sin^{2}\theta >={\frac {1}{2}}$. כדי לקבל את מהירות הסחיפה יש לכפול בתדירות הזוויתית $\omega$ - כיוון שסחיפת סטוקס מאוד נמוכה, מותר להניח כי אפקט דופלר זניח וזמן המחזור של הגל קבוע. נעזר בקשרים: $u_{0}=a\omega ,V={\frac {\omega }{k}}$ ונקבל: $u_{drift}={\frac {1}{2}}k\omega a^{2}$.