משתמש:Belin kov/פונקצית רווחה חברתית

בתורת המשחקים השיתופיים, פונקצית רווחה חברתית היא פונקציה שנותנת דירוג של מועמדים בהסתמך על יחסי ההעדפות של הבוחרים.

סימונים והגדרות

במשחקים שיתופיים, התחום העוסק בבחירה חברתית מתאר סיטואציות בהן קבוצת אנשים צריכה לבחור אדם אחד מוסכם. נהוג להשתמש בסימונים הבאים: קבוצת המועמדים מסומנת ב-$A$, קבוצת הבוחרים מסומנת ב-$N=\{1,2,\cdots ,n\}$. לכל בוחר $i$ ב-$N$ יש יחס העדפות $P_{i}$ על $A$, כלומר, דירוג של המועמדים האפשריים. יחס ההעדפות הוא יחס סדר מלא שיכול להיות חזק או חלש. קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על $A$ מסומנת ב-$P\left(A\right)$, ואילו קבוצת יחסי ההעדפות החלשים מסומנת ב-$P^{*}\left(A\right)$. אם בוחר $i$ מעדיף את $x$ על $y$, נסמן $x>_{P_{i}}y$. אם בוחר $i$ מעדיף את $x$ על $y$ או אדיש ביניהם, נסמן $x\geq _{P_{i}}y$.

פונקצית רווחה חברתית היא פונקציה $F$ המתאימה לכל וקטור $P=\{P_{1},\cdots ,P_{n}\}\in P\left(A\right)^{n}$ של יחסי העדפות (חזקים) יחס העדפות חלש $F\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)\in P^{*}\left(A\right)$.

דוגמאות

• פונקצית רווחה חברתית נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר $i$ כך ש-$F\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)=P_{i}$ לכל $P_{1},\cdots ,P_{n}$. כלומר, בפונקציה כזאת הדירוג של המועמדים נקבע על ידי הדירוג של בוחר $i$, הדיקטטור.
• פונקצית רווחה חברתית נקראת פה-אחד אם לכל שני מועמדים $a,b\in A$ ולכל וקטור העדפות $P=\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)$ שבו $a>_{P_{i}}b$ לכל $i$, מתקיים $a>_{F\left(P\right)}b$. כלומר, בפונקציה כזאת אם כל הבוחרים מעדיפים מועמד אחד על פני חברו, גם הקבוצה כולה תעדיף את המועמד הראשון.
• פונקצית רווחה חברתית מקיימת את כלל אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות אם לכל $a,b\in A$ ולכל $P=\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)$ המקיים $a>_{F\left(P\right)}b$, מתקיים התנאי הבא: לכל $Q=\left(Q_{1},\cdots ,Q_{n}\right)$ שבו $a>_{Q_{i}}b\Leftrightarrow a>_{P_{i}}b$, מתקיים $a>_{F\left(Q\right)}b$. כלומר, בפונקציה כזאת, אם אין שינוי בהעדפות של הבוחרים בין שני מועמדים אז גם אין שינוי בהעדפה של קבוצת הבוחרים כולה בין שני מועמדים.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, מאגנס, ספטמבר 2008.

קטגוריה:משחקים שיתופיים