משתמש:Esfes the king/פָּרָלַקְסָה

פרלקסה

פרלקסה (באנגלית: Parallax) היא התזוזה הזוויתית הנראית (על פני כיפת השמיים) של עצם (לדוגמא: כוכב) כאשר הוא נצפה בין שתי נקודות מרוחקות.

הפרלקסה מודגמת באיור משמאל - כאשר אנו עומדים על כדור הארץ וצופים על כוכב, תנועת כדור הארץ סביב השמש מאפשרת לנו לצפות על הכוכב מנקודות שונות לאורך המסלול של כדור הארץ ועל כן מיקום הכוכב ביחס לכוכבים רחוקים מאד ישתנה.

תוכלו להדגים לעצמכם את הפרלקסה באופן הבא, הושיטו את אגודל היד קדימה והתבוננו על האגודל דרך עין ימין ולאחר מכן דרך עין שמאל. מיד תבחינו כי מיקום האגודל ביחס לעצמים ברקע השתנה כאשר התבוננתם עליה דרך עין ימין ושמאל. במקרה זה אפשר לחשוב על עין ימין ועין שמאל כעל שתי נקודות במסלול כדור הארץ סביב השמש, על האגודל כעל כוכב והרקע אנלוגי לכוכבים רחוקים מאד. ככל שתקרבו את האגול אליכם יותר ויותר השינוי הזוויתי במיקום האגודל ביחס לרקע יהיה גדול יותר. על כן הזווית שבה השתנה הרקע של האגודל (או הכוכב), מתכונתית הפוך למרחק האגודל (הכוכב) מהצופה.

עבור עצמים במערכת השמש ניתן להבחין בשינוי של מיקום העצם ביחס לכוכבים גם כאשר אנו נמצאים במקומות שונים על כדור הארץ (ראו בהמשך: פרלקסה אופקית).

מדידת מרחקים באמצעות פרלקסה

באמצעות הפרלקסה ניתן למדוד מרחקים לעצמים קרובים. הרעיון הוא כאמור למדוד את מיקום הכוכב, שאת מרחקו מאיתנו אנו מעונינים לאמוד, ביחס לעצמים רחוקים והמרחק אל הכוכב ינתן מגאומטריה בסיסית. כפי שניתן לראות באיור משמאל אם נצפה על כוכב משתי נקודות, שהמרחק בינהן הוא d, שהקו המחבר בין הנקודות מאונך לכיוונו של הכוכב מהצופה, אזי הזווית שבה ישתנה מיקום הכוכב θ קשורה למרחק הכוכב מאיתנו ע"י:

\tan{\theta}=\frac{d}{D}

עבור קירוב של זווית קטנות (ברדיאנים) ניתן לרשום את הביטוי בצורה הפשוטה:

\theta\cong\frac{d}{D}

באמצעות הפרלקסה ניתן להגדיר יחידת מרחק בשם פרסק (ראו גם מאמר בנושא יחידות מרחק באסטרונומיה). פרסק אחד מוגדר כגובהו של משולש ישר זווית שאורך בסיסו הוא יחידה אסטרונומית וזווית הראש שלו שווה לשניית קשת אחת. על כן בפרסק אחד יש 206,264.806 יחידות אסטרונומיות או 3.08568\times10^{18} ס"מ.

כיום, טלסקופים בחלל מאפשרים, במקרים מסוימים, מדידת מיקומם היחסי של כוכבים בשיעור של כ 1 חלקי 10,000 שניות קשת (טוב יותר מחלק אחד חלקי 10 מיליארד של המעגל) - זווית זו שווה לזווית שבו יקרה סרגל באורך של כ-20 ס"מ על הירח עבור צופה מכדור הארץ. מדידת זוויות יחסיות בשיעור זה מאשפר למדוד מרחק לכוכבים במרחק של כ 1000 פרסק מכדור הארץ בדיוק יחסי של כ-10%.

מדידת מרחקים באמצעות פרלקסה בפועל

בד"כ כל הכוכבים שבהם אנו צופים נמצאים במרחקים סופיים מאיתנו ועל כן לחלק ניכר מהם עשויה להיות פרלקסה. משמעות העניין כי כל הכוכבים בשמיים זזים ומערכת היחוס של "כוכבים רחוקים ברקע" לא בהכרח קיימת. חשוב מכך הפרלקסה איננה התנועה היחידה של הכוכבים. לדוגמא התנועה העצמית של הכוכבים בשמיים גורמת לכוכבים שונים לנוע במהירויות שונות ובכיוונים שונים.

על כן על מנת למדוד פרלקסה בפועל יש למדל את כל התנועות הידועות (כגון עיוות כבידתי של מסלול קרני האור, האברציה של האור) והלא ידועות של העצמים השמימיים, לרשום אותם כמערכת משוואות ולפתור את מערכת המשוואות הנ"ל עבור הפרמטרים הלא ידועים (פרלקסה ותנועה עצמית). במידה ויש יותר תצפיות מפרמטרים לא ידועים ניתן בד"כ לפתור את הבעיה.

זווית הפרלקסה

זווית הפרלקסה (באנגלית: Parallax angle) היא זווית השינוי במיקומו של כוכב כלשהו כאשר מודדים את מיקומו משתי נקודות שהמרחק בינהן (שסומן קודם לכן ב d) הוא בדיוק יחידה אסטרונומית אחת (וכאמור הקו המחבר בין שתי נקודות התצפית מאונך לכיוון הכוכב).

מאחר ויחידה אסטרונומית שווה ל: 149,597,870 ק"מ, ניתן לקשור בדיוק את זווית הפרלקסה למרחק הכוכב מהצופה.

בהגדרה עצם שזווית הפרלקסה שלו היא בדיוק שניית קשת, מרחקו מהצופה יהיה פרסק בדיוק. ע"פ הגדרה זו, פרסק שווה ל: 206,264.806 יחידות אסטרונומיות, או 3.261 שנות אור או 3.08568\times10^{18}~{\rm cm}.

זווית הפרלקסה של הכוכב הבהיר ביותר בשמים סיריוס היא 379.2\pm1.6 אלפיות שניית קשת - על כן מרחקו של סיריוס מהשמש הוא 2.63\pm0.01 פרסק. לעומת זאת זווית הפרלקסה של הכוכב הקרוב ביותר לשמש, פרוקסימה בקבוצת הכוכבים קנטאורוס, היא 772.3\pm2.4 אלפיות שניית קשת שמתרגם למרחק של 1.295\pm0.004 פרסק.

כאמור המרחק, D, בפרסק ניתן לחישוב מזווית הפרלקסה בשניות קשת θ(") ע"י:

D=\frac{1}{\theta()}

סוגי פרלקסה

נהוג להבדיל בין פרלקסה שנתית הנגרמת כתוצאה מתנועת כדור הארץ סביב השמש לבין פרלקסה יומית שהיא תוצאה של סיבוב כדור הארץ סביב צירו.

פרלקסה שנתית

פרלקסה שנתית (באנגלית: Annual Parallax) היא השינוי במיקומו של עצם שמימי שנובעת מתנועת כדור הארץ סביב השמש.

פרלקסה יומית פרלקסה יומית (באנגלית: Diurnal Parallax) היא השינוי במיקומו של עצם שמימי הנובע כתוצאה מסיבוב כדור הארץ סביב צירו. סיבוס זה כמובן גם הוא גורם לשינוי במיקום הצופה ביחס לעצמים בשמיים.

הזווית המירבית של הפרלקסה היומית קטנה מאד וזאת מפאת גודלו הקטן יחסית של כדור הארץ. רדיוס כדור הארץ הוא כ 4.3\times10^{-5} יחידות אסטרונומיות ועל כן הפרלקסה היומית של עצם שמימי קטנה בכחמישה סדרי גודל מהפרלקסה השנתית שלו.

פרלקסה דינמית

פרלקסה דינמית (באנגלית: Dynamical Parallax) היא שיטה למדידת מרחק לעבר כוכבים כפולים נראים-ספקטרוסקופים באמצעות שילוב של חוקי קפלר, מדידת המסלול הנראה ומדידת המהירות הרדיאלית של אחד מבני הזוג.

הרעיון מאחורי הפרלקסה הדינימית היא שתצפיות בכוכב כפול שבו ניתן למדוד את מסלול בני הזוג על פני כיפת השמיים מאפשרות לנו לחשב את חצי הציר הארוך של מסלול הכוכב הכפול ביחדות של זווית וכן את זמן המחזור שלו. מחוקי קפלר (ראו החוק השלישי של קפלר - החוק המוכלל) ידוע כי זמן המחזור קשור למסת הכוכבים ולחצי הציר הארוך של מסלולם. בנוסף מדידת מהירות הצנועה היחסית של הכוכבים באמצעות ספקטרוסקופיה (ראו אפקט דופלר) מאשפרת לחשב את מהירות הכוכבים ועל כן לקבוע את סקלת הגודל של המסלול (חצי הציר הארוך ביחידות אורך) וכן את מסת הכוכבים במערכת. מדידת חצי הציר הארוך הן ביחידות אורך והן ביחידות של זווית מאפשרת לנו מידית לחלץ את המרחק למערכת. כאמור מדידת מרחק כזו נקראת פרלקסה דינמית.

דוגמא מפורסמת לפרלקסה דינמית היא מדידת המרחק למרכז הגלקסיה על ידי מדידת מסלולם של כוכבים המקיפים את החור השחור במרכז גלקסית שביל החלב.

הסבר מתמטי

בהינתן האלמנטים של המסלול של כוכב כפול נראה:

נטיית המסלול, i, כפי שנמדד ביחס למישור כיפת השמיים. אורך הקשר העולה, Ω, שהיא הזווית בין קו הקשרים לכיוון הקוטב השמיימי הצפוני. אורך הפריאסטרון, ω, שהיא הזווית בין קו הקשרים לפריאסטרון של המערכת. זמן הפריאסטרון, T. אקצנטריות המסלול, e. חצי הציר הארוך של האליפסה שמתארת את המסלול, a, כפי שנמדדת בשניות קשת על פני כיפת השמיים. ניתן לחשב את מיקומם היחסי של שני בני הזוג.

ע"י פיתרון משוואת קפלר ניתן למצוא את האנומליה האמיתית, ν ואז זווית המצב בין שני הכוכבים במערכת היא:

{\rm PA}=\Omega+\arctan{2}(\sin(\nu+\omega)\cos(i), ~\cos{(\nu+\omega)})

והמרחק הזוויתי ביהם הוא:

D=\frac{R\cos(\nu+\omega)}{\cos({\rm PA}-\Omega)}

מתצפיות במיקום היחסי של בני הזוג, ניתן להפוך את הבעיה ולחשב את אלמנטי המסלול של המערכת.

האמפליטה במהירות הרדיאלית של הכוכב המשני:

K_{2}=\frac{na\sin(i)}{\sqrt{1-e^{2}}}

והמהירות הרדיאלית של המשני:

{\rm RV}=K_{2}(e\,\cos(\omega)+\cos(\nu+\omega))

כאשר המהירות הממוצעת, n, ניתנת ע"י:

n=\frac{2\pi}{P}

עתה, בהינתן מדידה של המהירות הרדיאלית של שני בני הזוג במערכת (או הקל מבינהם, במידה ומסתו של הכוכב הראשי גדולה בהרבה ממסתו של המשני - ראו: החור השחור במרכז גלקסית שביל החלב), והאורינטציה של המסלול ביחס לכיפת השמיים, יחד עם חוקי קפלר וזמן המחזור, ניתן לחשב את סכום המסות M_{1}+M_{2} של הכוכבים במערכת.

M_{1}+M_{2}=\,\frac{Pv^{3}}{2\pi G}

כאשר, P, זמן המחזור, v המהירות המסלולית הממוצעת ו G קבוע הכבידה העולמי.

אם המהירות הרדיאלית של שני הכוכבים נמדדה, אזי היחס בינהם שווה ליחס המסות של הכוכבים ועל כן ניתן גם לחלץ את המסה של כל אחד מהכוכבים במערכת.

עתה חוקי קפלר מאפשרים לנו גם לחשב את חצי הציר הארוך של המסלול ביחידות אורך, al:

a=\Big(\frac{G(M_{1}+M_{2})P^{2}}{4\pi^{2}}\Big)^{1/3}

ולבסוף המרחק, d, אל המערכת ניתן ע"י:

d=\frac{a_{l}}{a}

כאשר, אם a נמדד בשניות קשת ו al נמדד ביחידות אסטרונומיות אזי המרחק ניתן בפרסקים.

פרלקסה אופקית

פרלקסה אופקית (באנגלית: Horizontal Parallax) הוא השינוי במיקומו של גוף שמיימי כאשר מתבוננים עליו דרך שתי נקודות הממוקמות על מישור הניצב לכיוון העצם השמיימי ומרוחקות זו מזו בשיעור השווה לרדיוס של כדור הארץ בקו המשווה 6378.137 ק"מ.

הגדרה מדויקת יותר של הפרלקסה האופקית, HP, היא ע"י הביטוי:

\sin({\rm HP})=\frac{r}{R_{e}}

כאשר r הינו המרחק בין מרכז כדור הארץ לעצם השמיימי ו R_{e}=6378.137~{\rm km} הוא כאמור רדיוס כדור הארץ בקו המשווה כפי שמוגדר עבור אליפסואיד היחוס WGS84 (ראו: קורדינאטות ארציות). שימו לב: הפרלקסה האופקית מוגדרת ע"י סינוס הזווית ולא ע"י טנגנס הזווית.

הפרלקסה האופקית רלוונטית בד"כ לעצמים הנמצאים במערכת השמש. עבור עצמים כאלו הפרלקסה האופקית הינה משמעותית ועבור אפליקציות מסוימות יש להתחשב במיקום הצופה על כדור הארץ.

למשל הפרלקסה האופקית הממוצעת של הירח היא 57.041 דקות קשת ואילו עבור השמש היא 8.79 שניות קשת.

היסטוריה

הפרלקסה של כוכב קרוב נמדדה לראשונה עבור הכוכב 61 בקבוצת הכוכבים ברבור בשנת 1838 ע"י האסטרונום פרידריך בסל.

קישורים חיצוניים

פרלקסה-ערן אופק (מחבר)