משתמש:Marcus Guy/צימוד פלורופור-מתכת בתהודה פלסמונית מקומית

כיתוב תמונה

בפיזיקה של חומר מעובה, צימוד פלורופור-מתכת בתהודה פלסמונית מקומית (באנגלית: Fluorophore-metal coupling at Localized Surface Plasmon Resonance או בקיצור Fluorophore-metal coupling at LSPR) הוא מצב פיזיקלי בו פלורופור וננו-חלקיק מתכת מצומדים בקרבת שדה אלקטרומגנטי כך שיתכנו שני אפקטים בסביבה זו- הנחתה בעוצמת הפלואורסצנציה (Quenching), או שיפור הפלואורסצנציה בקרבת ננו-חלקיק המתכת (LSPR-MEF).

${\begin{aligned}&{\hat {\gamma }}\left(R\right)=1+{\frac {3}{2}}\eta {{\left({{k}_{1}}R\right)}^{-3}}{{\mu }^{-2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3}{2}}\eta {{\left({\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}{\frac {\omega }{c}}R\right)}^{-3}}{{\mu }^{-2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3\eta {{c}^{3}}}{2\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{3}}{{\mu }^{2}}}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3\eta {{c}^{3}}}{2\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{3}}}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[{{\left(l+1\right)}^{2}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\approx 1+{\frac {6\eta {{c}^{3}}{{a}^{3}}}{\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{6}}}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{\varepsilon \left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{\omega {{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{\varepsilon \left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{\omega {{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {{{\varepsilon }_{re}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {-2{{\varepsilon }_{m}}+i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-3{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{1+i{\frac {3{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}{\frac {3{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\\&\Rightarrow {\hat {\gamma }}\left(R\right)\approx {\frac {18\eta }{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right){\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}{{\left({\frac {ca}{{{R}^{2}}{{\omega }_{LSPR}}}}\right)}^{3}}\\&\eta =1,{{\varepsilon }_{m}}=1,c=2.998\cdot {{10}^{8}}_{\frac {m}{s}},a={{10}^{-8}}_{m},{{\omega }_{LSPR}}=5.345\cdot {{10}^{15}}_{Hz},{{\varepsilon }_{im}}\left(5.345\cdot {{10}^{15}}\right)=0.28:\\&{\hat {\gamma }}\left(R\right)\approx {\frac {18}{0.28}}{{\left({\frac {2.998\cdot {{10}^{8}}\cdot {{10}^{-8}}}{{{R}^{2}}5.345\cdot {{10}^{15}}}}\right)}^{3}}={\frac {1.1344\cdot {{10}^{-44}}}{{R}^{6}}}\Rightarrow \\&{\hat {\gamma }}\left({{10}^{-8}}\right)={\frac {1.134\cdot {{10}^{-44}}}{{\left({{10}^{-8}}\right)}^{6}}}=11340\\\end{aligned}}$

אינטראקציה כללית בין מתכת, פלורופור ושדה אלקטרומגנטי

בליעה ופיזור של גלים אלקטרומגנטיים

בליעה ופיזור על ידי חלקיקים

תוכן.

הקירוב הקוואזי-סטטי

תוכן.

פיזור מיי

תוכן.

מומנט הדיפול של פלורופור

קוטביות מולקולרית

תוכן.

מודל הריסון של דביי

תוכן.

תהודה פלסמונית בחלקיקי מתכת תחת הקירוב הקוואזי-סטטי

תהודה פלסמונית מקומית

תוכן.

מאפיינים אופטיים של מתכות

תכונות אופטיות של חלקיקי מתכת

תוכן.

חתך הפעולה לבליעה ולפיזור

תוכן.

מודל עבור ננו-אליפסואיד מתכתי

החלקיק הכללי הפשוט ביותר בעל צורה רגולרית הוא האליפסואיד, שמשוואת שטח פניו היא ${\frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac {{y}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}}{{c}^{2}}}=1$ כאשר $\ a,b,c$ הם קבועי האליפסואיד (עבור ספרואיד כללי מתקיים, בה"כ, $a>b>c$). למבנה זה ישנם שלושה מקרים פרטיים מיוחדים: כדור, ספרואיד אובלי וספרואיד פרובלי. במקרה של כדור, המודל (תחת הקירוב הקוואזי-סטטי) פשוט אך ניתן להכללה על ידי תאוריית מיי עבור חלקיקים כדוריים שקוטרם מסדר גודל דומה או גדול מזה של אורך הגל הפוגע. כאשר החלקיק אובלי, ניתן לקרבו כמקרה פרטי של ספרואיד עד כדי קירוב לדיסקה כמקרה קצה. המקרה הפרטי השלישי בדרך כלל יותר מעניין, כיוון שהפיתוח האנליטי עבור מקרה זה מהווה קירוב גיאומטרי למוט, גוף מרחבי בעל יישומים טכנולוגיים (קיימים ופוטנציאליים) בתור מבנה ננומטרי מתכתי.

הפיתוח עבור ננו-אליפסואיד

כיתוב תמונה

בהינתן אליפסואיד תחת הקירוב הקוואזי-סטטי, ניתן לבסס מודל אנליטי תחתיו אינטראקציה של האליפסואיד עם חלקיקים קרובים תינתן לתיאור כצימוד של דיפול-חלקיק (למשל, צימוד דיפול מתכת-פלורופור). מקובל לסמן את המקדם הדיאלקטרי של המרחב בו נמצא האליפסואיד ב- ${{\varepsilon }_{m}}$, ואת המקדם הדיאלקטרי של האליפסואיד ב- $\varepsilon$. על מנת לחשב את הפוטנציאל החשמלי סביב החלקיק, נוח להשתמש בקואורדינטות אליפסואידליות $\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)$ בעזרתן ניתן לתאר כל נקודה שתוארה במקור במערכת הקרטזית, על ידי הטרנספורמציה הבאה:

$\left\{{\begin{aligned}&\left|x\right|={\sqrt {\frac {\left({{a}^{2}}+\xi \right)\left({{a}^{2}}+\eta \right)\left({{a}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{a}^{2}}-{{b}^{2}}\right)\left({{a}^{2}}-{{c}^{2}}\right)}}}\\&\left|y\right|={\sqrt {\frac {\left({{b}^{2}}+\xi \right)\left({{b}^{2}}+\eta \right)\left({{b}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{b}^{2}}-{{a}^{2}}\right)\left({{b}^{2}}-{{c}^{2}}\right)}}}\\&\left|z\right|={\sqrt {\frac {\left({{c}^{2}}+\xi \right)\left({{c}^{2}}+\eta \right)\left({{c}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{c}^{2}}-{{a}^{2}}\right)\left({{c}^{2}}-{{b}^{2}}\right)}}}\\\end{aligned}}\right.$

כאשר $-\xi <{{c}^{2}}<-\eta <{{b}^{2}}<-\zeta <{{a}^{2}}$. אם ברגע ${{t}_{0}}$ מקרינים את החלקיק באורך גל $\lambda$ כך שהשדה החשמלי הנוצר בהשפעת ההקרנה אחיד בסביבת חלקיק המתכת ובה"כ מתקיים ${\vec {E}}\left({{t}_{0}};\left|{\vec {r}}\right|\ll \lambda \right)\approx {{E}_{0}}{\hat {z}}$, אזי ביחס לנקודת פוטנציאל אפס שרירותית כלשהי, הפוטנציאל מהשדה החשמלי החיצוני (של האור המוקרן) עבור $z>0$ הוא:

${{V}_{0}}=-{{\vec {E}}_{0}}\cdot {\vec {r}}=-{{E}_{0}}{\hat {z}}\cdot \left(x{\hat {x}}+y{\hat {y}}+z{\hat {z}}\right)=-{{E}_{0}}{\sqrt {\frac {\left({{c}^{2}}+\xi \right)\left({{c}^{2}}+\eta \right)\left({{c}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{c}^{2}}-{{a}^{2}}\right)\left({{c}^{2}}-{{b}^{2}}\right)}}}$

ובכן, עבור מודל זה ותחת ההנחות דלעיל, ניתן להראות כי הביטויים ${{V}_{in}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)$ ו- ${{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)$ עבור הפוטנציאל הכולל בקרבת האליפסואיד מתקבלים על ידי פתרון משוואת לפלס בקואורדינטות אליפסואידליות:

${\begin{matrix}{{\nabla }^{2}}V=\left(\eta -\zeta \right)\Phi \left(\xi \right){\frac {d}{d\xi }}\left(\Phi \left(\xi \right){\frac {dV}{d\xi }}\right)+\left(\zeta -\xi \right)\Phi \left(\eta \right){\frac {d}{d\eta }}\left(\Phi \left(\eta \right){\frac {dV}{d\eta }}\right)+\left(\xi -\eta \right)\Phi \left(\zeta \right){\frac {d}{d\zeta }}\left(\Phi \left(\zeta \right){\frac {dV}{d\zeta }}\right)=0\\\left\{{\text{ }}\Phi \left(\varphi \right)={\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}{\text{ }}\right\}\\\end{matrix}}$

ובלבד שיתקיימו התנאים הפיזיקליים:

לרציפות הפוטנציאל:

${{V}_{in}}\left(0,\eta ,\zeta \right)={{V}_{out}}\left(0,\eta ,\zeta \right)$

ולרציפות הרכיב הנורמלי של שדה ההעתקה החשמלי:

${{\left.\varepsilon {\frac {d{{V}_{in}}}{d\xi }}\right|}_{\xi =0}}={{\left.{{\varepsilon }_{m}}{\frac {d{{V}_{out}}}{d\xi }}\right|}_{\xi =0}}$

כך שתחת התנאי ${{V}_{in}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)<\infty$ שפונקציית הפוטנציאל הפנימי הכולל לא תתבדר, מתקבל הפתרון:

${{V}_{in}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)={\frac {{\varepsilon }_{m}}{{{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}}}{{V}_{0}}$

ותחת התנאי ${\underset {\xi \to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)={{V}_{0}}$ כאשר באינסוף השפעת החלקיק אינה מורגשת, מתקבל הפתרון:

${{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\left(1+{\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right)}{2\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right)}}\int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}\right){{V}_{0}}$

כאשר ${{L}_{z}}$ הוא מאפיין גיאומטרי של האליפסואיד המוקרן (במקרה הזה בכיוון ${\hat {z}}$) שערכו מחושב על ידי ${{L}_{z}}={\frac {abc}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{{\frac {1}{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}d\varphi }$.

עבור $-{{c}^{2}}<\xi <\infty$ מתקיים (לפי הגדרת הטרנספורמציה) הקשר ${\frac {{x}^{2}}{{{a}^{2}}+\xi }}+{\frac {{y}^{2}}{{{b}^{2}}+\xi }}+{\frac {{z}^{2}}{{{c}^{2}}+\xi }}=1$ כך שעבור $\xi \gg {{a}^{2}}$ מתקיים $\xi \approx {{r}^{2}}$ (כלומר, ${{r}^{2}}\gg {{a}^{2}}$). במקרה שמתקיים תנאי הקירוב הקוואזי-סטטי, ההנחה כי ${{r}^{2}}\gg {{a}^{2}}$ תקפה, וניתן לפשט את הביטוי שהתקבל עבור הפוטנציאל החיצוני הכולל:

$\int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}\approx \int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{{\varphi }^{2.5}}}={\frac {2}{3}}{{\xi }^{-1.5}}={\frac {2}{3{{r}^{3}}}}$

$\Rightarrow {{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\left(1+{\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right)}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{3}}}}\right){{V}_{0}}$

כעת, ניתן להציג את הפוטנציאל החשמלי החיצוני הכולל כסכום של הפוטנציאל החיצוני (מהשדה המוקרן) ${{V}_{0}}$ ושל הפוטנציאל הנוצר בהשפעת החלקיק:

${{V}_{p}}={\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right){{V}_{0}}}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{3}}}}={\frac {abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}z}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{3}}}}$

וכך ניתן להגדיר את מומנט הדיפול של האליפסואיד בהתאם לביטוי זה (כאשר גאומטרית ברור ש- ${\frac {z}{r}}=\cos \left(\theta \right)$):

${{V}_{p}}={\frac {abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}\cos \left(\theta \right)}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{2}}}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{r}^{2}}}}{\frac {4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right)}}{\hat {z}}\cdot {\hat {r}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}}{{\vec {p}}_{MNP}}\cdot {\hat {r}}$

$\Rightarrow {{\vec {p}}_{MNP}}={\frac {4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right)}}{\hat {z}}={\frac {\nu {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}}{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}{\hat {z}}={\frac {\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right)\nu {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}}{{{L}_{z}}\left({{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)-\left(1-{\frac {1}{{L}_{z}}}\right){{\varepsilon }_{m}}\right)+i{{L}_{z}}{{\varepsilon }_{im}}\left(\omega \right)}}{\hat {z}}$

כאשר $\nu$ הוא נפח החלקיק ן- $\varepsilon =\varepsilon \left(\omega \right)={{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left(\omega \right)$ היא הפונקציה הדיאלקטרית של המתכת.

במקרה זה, אוסצילציות של השדה החשמלי החיצוני ${\vec {E}}\left(t;\left|{\vec {r}}\right|\ll \lambda \right)\approx {{E}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}$ תגרומנה לאוסצילציות במומנט הדיפול ${{\vec {p}}_{MNP}}={\frac {\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right)\nu {{\varepsilon }_{0}}{{E}_{0}}}{{{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}$. בנוסף, מומנט דיפול זה מגדיר את הפולריזביליות של החלקיק לפי הקשר ${\vec {p}}={{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}\alpha {\vec {E}}$, כך שבמקרה של אליפסואיד $\alpha ={\frac {\nu }{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}$.

ובכן, ניתן ללמוד ממודל זה על האופי הקרינתי של החלקיק. נקודה מעניינת היא קיומה של עוצמת שדה מוגברת באזורים מסוימים ב- $z>0$, בקרבת החלקיק המתכתי. מהביטוי שהתקבל עבור האליפסואיד הדיפולי, קל לראות שקיים מקסימום לערך המתקבל עבור מומנט הדיפול. ערך מקסימום זה נקרא הרזוננס הפלסמוני המקומי של החלקיק, והוא מתקבל כאשר המכנה (בביטוי למומנט הדיפול) מינימלי בערכו המוחלט. בהתחשב בפונקציה הדיאלקטרית המדומה של המתכת, הדרישה היא ${{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)=\left(1-{\frac {1}{{L}_{z}}}\right){{\varepsilon }_{m}}$, אשר מתקיימת תחת תדר הרזוננס הפלסמוני המקומי שערכו-

${{\omega }_{LSPR}}={{\omega }_{p}}{\sqrt {{\frac {1}{1+\left({\frac {1}{{L}_{z}}}-1\right){{\varepsilon }_{m}}}}-{\frac {1}{\omega _{p}^{2}{{\tau }^{2}}}}}}\approx {\frac {{\omega }_{p}}{1+\left({\frac {1}{{L}_{z}}}-1\right){{\varepsilon }_{m}}}}$

מאחר ש- ${{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)=1-{\frac {\omega _{p}^{2}{{\tau }^{2}}}{1+{{\omega }^{2}}{{\tau }^{2}}}}$, כאשר הקירוב האחרון תקף עבור רוב ערכיהם הנפוצים של $\tau$ ושל ${{\varepsilon }_{m}}$.

כאמור, הניתוח של פיזור הקרינה מחלקיק מתכת תחת הקירוב הקוואזי-סטטי מנבא רזוננס פלסמוני במומנט הדיפול של החלקיק. למעשה, כפי שמנבא תאוריית מיי, אפקט זה קיים גם אצל חלקיקים מוקרנים אשר אינם עומדים בתנאי הקירוב הקוואזי-סטטי, אך עדיין בעלי ממדים מסדר הגודל של אורך הגל הפוגע. במקרה זה הפיתוח האנליטי מורכב בהרבה, אך למשל במקרה של חלקיק מתכת כדורי ניתן לקרב את הביטוי המתקבל עבור הפולריזביליות על ידי מנת פולינומים:

${{\alpha }_{Mie}}={\frac {1-{\frac {1}{10}}\left(\varepsilon +{{\varepsilon }_{m}}\right){{x}^{2}}+O\left({{x}^{4}}\right)}{{\frac {\varepsilon +2{{\varepsilon }_{m}}}{3\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right)}}-{\frac {1}{30}}\left(\varepsilon +10{{\varepsilon }_{m}}\right){{x}^{2}}-i{\frac {4{{\pi }^{2}}\varepsilon _{m}^{1.5}}{3}}\cdot {\frac {\nu }{\lambda _{0}^{3}}}+O\left({{x}^{4}}\right)}}$

כאשר $x={\frac {\pi a}{{\lambda }_{0}}}$ ו- ${{\lambda }_{0}}$ הוא אורך הגל של האור המוקרן בריק. ואכן, גם עבור מקרה זה יכול להתקבל רזוננס פלסמוני מקומי.

מקרים פרטיים מיוחדים

תוכן.

שיפור פלואורסצנציה על ידי תהודה פלסמונית (LSPR-MEF)

תוכן.

שימושים טכנולוגיים ומחקרים בתחום

סופר-רזולוציה

תוכן.

דימות ביולוגי

תוכן.

ראו גם

• שם ערך

לקריאה נוספת

• שם סופר, שם ספר, שם הוצאה, תאריך הוצאה

קישורים חיצוניים

• התוכן בקישור, באתר (שם האתר)