משתמש:Omrishushan93/MIMO (בקרה)

תבנית:מחפש מקורות הוסבה ואין להשתמש בה יותר! נא להשתמש בתבנית:מקורות.

שגיאות פרמטריות בתבנית:לשכתב
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים

מערכות מרובות כניסות ויציאות - מערכת MIMO (בקרה)

באופן כללי ניתן לדבר על מערכת LTI עם m>1 כניסות ו- k>1 יציאות, אותה נכנה מערכת MIMO, שפירושה: Multiple Input Multiple Output.

את הכניסה למערכת נתאר כוקטור u_m×1, ואת היציאה ממנה כוקטור y_k×1 כאשר: [(u_m×1 = [u₁(t), ... , u_m(t ו-

[(y_k×1 = [y₁(t), ... , y_k(t המקרה של מערכת Single Input Single Output) SISO) הוא מקרה פרטי בו m=k=1.

בגלל שהמערכת היא LTI, ניתן לתאר את הקשר בין כל אחת מהכניסות (u_i(t כאשר i = 1,…,m לבין כל אחת מהתפוקות (y_j(t כאשר j = 1,…, k בעזרת הכלים המתמטיים הבאים: משוואה דיפרנציאלית, תגובה להלם, פונקציית תמסורת או ייצוג במרחב המצב. כדי לקבל תיאור מלא של המערכת תדרשנה m×k משוואות דיפרנציאליות שונות או m×k תגובות להלם שונות (התגובה להלם (h_ij(t מתארת את תגובת ה-ZSR (תגובה לכניסה בלבד עם תנאי התחלה אפסיים) במוצא (y_j(t להלם בכניסה (u_i(t) או m×k פונקציות תמסורת שונות, כאשר כל אחת מהן מקיימת: {(G_ij(s) = L{h_ij(t.

נשים לב כי בשימוש בייצוג במרחב המצב, הקשר בין הכניסה (u_i(t לתפוקה (y_j(t יתואר ע"י:

(ẋ(t) = Ax(t) + b_iu_i(t

(y_j(t) = c_jx(t) + d_jiu_i(t

כלומר, ההבדל בייצוג בין כל זוג (כניסה/יציאה) בא לידי ביטוי רק במטריצות (וקטורים) b ו-c (ובסקלר d). בעוד שתיאור מערכת MIMO באמצעות משוואה דיפרנציאלית או תגובה להלם מחייב שימוש ב-m×k קשרים, הייצוג של מערכות MIMO במישור לפלס או במרחב התדר הוא פשוט וקומפקטי.

ייצוג מערכת MIMO במישור התדר (מישור לפלס)

נסמן: U(s) = L{u(t)} = L[u₁(t), ... , u_m(t)] = [U_m(s), ... , (U_m(s] ובצורה דומה {(Y(s) = L{y(t. הקשר בין וקטור הכניסות לוקטור התפוקות במישור s (מישור התדר/ מישור לפלס) נתון ע"י:

(Y(s) = G(s)U(S

כאשר (G(s היא מטריצה m×k המקיימת:

G(s) = ([G₁₁(s), ... ,G_1k(s)], ... , [G_m1(s), ... ,G_mk(s)])

כאמור, כל אחד מהאברים במטריצת התמסורת (G(s מייצג את הקשר בין הכניסה ה-i-ית לתפוקה ה-j-ית, והוא מהווה התמרת לפלס של תגובת ההלם הרלוונטית.

ייצוג מערכת MIMO במרחב המצב

בשימוש בייצוג במרחב המצב למערכת MIMO, הקשר בין הכניסה [(u_m×1 = [u₁(t), ... ,u_m(t לתפוקה [(y_k×1 = [y₁(t), ... , y_k(t יתואר ע"י:

(ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t

(y(t) = Cx(t) + Du(t

כאשר: D_k×m, C_k×n, B_n×m, A_n×n, y_k×1, u_m×1, x_n×1

כלומר במערכת MIMO האיברים B, C ו- D הן מטריצות, בממדים המתאימים.

נשים לב שהקשר המתאר את הדינמיקה של המערכת, (ẋ(t) = Ax(t לא השתנה. הוספת כניסות או הגדרת יציאות במערכת לא משנות את אופיה ומהותה, ולכן באות לידי ביטוי אך ורק במקדמי הסופרפוזיציה של המצבים המוגדרים ע"י המטריצות B ו-C.

תכונות ייצוג מרחב המצב של מערכות MIMO

1. מטריצת התמסורת של המערכת נתונה ע"י:

G(s) = C[sI-A]^-1B + D

2. תגובת המערכת לתנאי התחלה (ZIR) נתונה ע"י:

(Y(s) = CX(s) = C[sI-A}^-1x(0

3. והתגובה לערור (ZSR) נתונה ע"י:

(Y(s) = CX(s) = (C[sI-A]^-1B + D)U(s

4. ליבת המערכת לא השתנתה וקיים:

{e^At = L^-1{[sI-A]^-1

סדר המערכת

במערכת SISO סדר הפולינום האופייני של המד"ר (המשוואה הדיפרנציאלית), שהוא מסדר המד"ר זהה לפולינום המכנה בפונקציית התמסורת, הזהה לדטרמיננטה של המטריצה A בייצוג המערכת במרחב המצב. סדר הפולינום האופייני, שלפיו נקבע מספר הקטבים במערכת, סומן כ"סדר המערכת". כאשר המערכת מתוארת כמעגל חשמלי (אקוויוולנט) מצומצם (עם רכיבים שקולים בחיבור רכיבים זהים בטור או במקביל), סדר המערכת נקבע ע"י מספר הרכיבים אוגרי האנרגיה (קבלים וסלילים) במעגל, וכלל (לבד ממקרים פתולוגיים), מעגל ובו n רכיבים אוגרי אנרגיה הוא מערכת מסדר n. ככלל, הקשר בין כניסה אחת לתפוקה אחת במעגל כזה יתואר ע"י מד"ר מסדר n או ע"י פונקציית תמסורת בה פולינום המכנה הוא מסדר n. שורשי הפולינום הזה (הקטבים של המערכת) יהיו גם המערכים של האקספוננטים בתגובה להלם. גם המטריצה A בייצוג המערכת במרחב המצב תהיה מטריצה n×n.

נשים לב, כי מספר הכניסות/יציאות לא משנה את סדר המערכת. כאשר במעגל יש n רכיבים אוגרי אנרגיה סדר המערכת הוא עדיין n, גם אם יש לו מספר כניסות ויותר מיציאה אחת. עבור מערכות MIMO המיוצגות בייצוג מתמטי, ע"י משוואות מצב או מטריצת תמסורת (מופיעים לעיל), קל לקבוע את סדר המערכת ע"פ המטריצה A (ממדיה, או מספר הערכים העצמיים שלה).

לגבי מטריצת התמסורת, מתכונה 1 רואים שהדטרמיננטה של sI-A יופיע במכנה של כל איברי המטריצה, ולכן סדר המערכת הוא סדר הפולינום (det(sI-A, ששורשיו הם הקטבים, גם עבור מערכת MIMO.

מימוש

נשים לב כי בשימוש בייצוג במרחב המצב למערכת MIMO נקבל את סט המשוואות הבא:

(ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t

(y(t) = Cx(t) + Du(t

השורה ה-i-ית במשוואה הראשונה מתארת את הדינמיקה של המערכת:

ẋ_i = a_i1x₁ + ... + a_inx_n + b_1ju₁ + ... + b_1m

כלומר, המשוואה המטריצאלית (ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t תתואר כקופסא, אליה נכנסות m כניסות וממנה יוצאים n מצבים, כאשר כל אחד מהמצבים יוצא מאינטגרטור, לפיכך בתוך הקופסא יש n אינטגרטורים, שהם יוצרים את הדינמיקה של המערכת. כל יתר הרכיבים במערכת הם 2xn מסכמים ו- nxn + nxm הכפלות בקבועים a_il ו b_ij.

כל אחת מהיציאות במערכת MIMO מתקבלת מתוך סופרפוזיציה של המצבים והכניסות. כפי שעולה מהמשוואה (y(t) = Cx(t) + Du(t:

y_i = c_i1x₁ + ... + c_inx_n + d_1ju₁ + ... + d_1ku_k

כלומר, כדי לקבל k יציאות מהמערכת נדרש להוסיף לקופסא הקודמת k מסכמים ועוד nxk + kxm הכפלות בקבוע.

זהו המימוש המלא של מערכת MIMO כלשהי, וממנו קל לראות שסדר המערכת הוא n - מספר האינטגרטורים בה, הזהה למספר המצבים שלה. כיוון שהתיאור של מערכת במרחב המצב אינו יחיד (unique) קל לראות שמימוש המערכת יהיה פשוט יותר ככל שבמטריצה A יהיו יותר אפסים, נתבונן במקרה בו A אלכסונית ונניח שהע"ע בה שונים כלומר:

(ẋ(t) = ([s₁ , ... , 0] , ... , [0 , ... , s_n])x(t) + Bu(t

(y(t) = Cx(t) + Du(t

במקרה זה המימוש המלא של המערכת המתאר מערכת MIMO יתואר ע"י קופסא אליה נכנסות m כניסות ויוצאות ממנה k יציאות. מערכת זו תמיד תכיל n אינטגרטורים בדיוק. אבל קיימים אינסוף מימושים שונים הקובעים את החיבורים והמכפילים שלהם. המימוש בו A אלכסונית במקרה הכללי ביותר יכיל n×n מכפילים. נשים לב שאם נחליף כל אינטגרטור ב-1/s נקבל מימוש של המערכת במישור התדר.