משתמש:Yoelpiccolo31/מתמטיקה/משפט אבל-רופיני
שגיאות פרמטריות בתבנית:תמונות מרובות
פרמטרים ריקים [ ללא גבול ] לא מופיעים בהגדרת התבנית
.jpg)
באלגברה, משפט אָבֶּל-רוּפיני[1] קובע כי לא קיים פתרון אלגברי (כלומר: פתרון בעל שורשים[2]) עבור משוואות פולינומיות כלליות ממעלה[3] חמישית או יותר, בעלות מקדמים שרירותיים כלשהם.[4][5]
המשפט נקרא על שם המתמטיקאים פּאוֹלוֹ רוּפיני, אשר סיפק הוכחה חלקית להשערה זו ב-1799, ונילס הֶנריק אָבֶּל, אשר השלים את ההוכחה ב-1824.
ברוב המאמרים המדעיים הקשורים להוכחת המשפט נכתב, כי מבחינה היסטורית היה זה אָבֶּל, אשר הוכיח שמשוואה כללית ממעלה חמישית אינה יכולה להיפתר באמצעות שורשים, הניתנים למציאה באמצעות שיטה קונסיסטנטית כלשהי, דוגמת נוסחה שפותחה לצורך מציאת שורשים אלו.
למרות ה"נסיבות ההיסטוריות", העומדות לזכותו של אָבֶּל, הוכחתו כמעט אף פעם אינה מוצגת. במקומה מוצגת ההוכחה המסתמכת על תורת החבורות של גַלואָה[6].
הוכחה עריכה
ההוכחה הבאה מתבססת על תורת החבורות של גלואה, והיא תקפה לכל שדה בעל מאפיין .
אחד ממשפטיה היסודיים של תורת גלואה הנו:
פולינום פתיר על ידי רדיקלים מעל השדה אם ורק אם לשדה הפיצול שלו, מעל - קיימת חבורת גלואה פתירה.
![{\displaystyle P\left(x\right)\in F\left[x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea682deafae39e07c690f386a29617d07671cd0)
הערות שוליים עריכה
- ^ באנגלית: Abel–Ruffini theorem ובשם נוסף: Abel's impossibility theorem.
- ^ שורשי משוואה פולינומית נקראים לעתים גם "רדיקלים". שני השמות שקולים זה לזה.
- ^ "מעלת הפולינום" הנה החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום כלשהו. הביטוי "מעלת הפולינום" שקול לביטוי "פולינום מסדר... (מספר החזקה הגבוהה ביותר בפולינום זה, למשל: "פולינום מסדר שלישי")".
- ^ כלומר, אין "נוסחה מוכנה" למציאת שורשים מסדר חמישי (כולל) ומעלה, בניגוד ל"נוסחאות מוכנות" אשר "מובנות" עבור מציאת שורשי משוואות ריבועיות (מסדר שני), משולשות (מסדר שלישי) ומרובעות (מסדר רביעי).
- ^ להרחבה בנושא פתרון משוואות באמצעות רדיקלים, אנא פנה לערך: פתרון באמצעות רדיקלים.
- ^ באנגלית: Galois theory.
קטגוריה:אלגברה בסיסית
קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה
קטגוריה:משוואות פולינומיות