משתמש:Yoelpiccolo31/מתמטיקה/רשמים שלי

Howie J.M. - Fields and Galois theory-Springer (2006) - starting on page 11.

בהגדרתו הכללית ביותר, חוג הנו קבוצה לא ריקה, שנכנה אותה שרירותית בשם $R$. קבוצה זו "מצויידת" בשתי פעולות בינאריות:
חיבור, אשר נסמנו בסימון: $+$, וכפל (מכפלה סקלרית) , אשר נסמנו בסימון $\cdot$.
בסימון מתמטי, הגדרת החוג תיראה כך:

$R=\left(R,+,\cdot \right)$.

יש לציין, כי על פי רוב, המוסכמה המקובלת נוטה לוותר על פעולת הכפל.

נוסף על הפעולות האריתמטיות שלעיל, כולל החוג גם את התכונות הבאות:

(R1) כלל האסוציאטיביות עבור חיבור:
לדוגמה, אם $a,b,c$ הנם שלושה איברים בקבוצה (כלומר: $a,b,c\in R$), אזי מתקיים: $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$.

(R2) כלל הקומוטטיביות עבור חיבור:
$a+b=b+a\quad (a,b\in R)$.

(R3) קיומו של איבר יחידה חיבורי (אדיטיבי) . זהו איבר האפס, כלומר:
קיים $0$ בקבוצה $R$, כך שעבור כל איבר אחר בקבוצה, אשר נסמנו באופן שרירותי כ- $a$, מתקיים: $a+0=a$.

(R4) קיומו של מספר נגדי לכל איבר בקבוצה. כלומר:
לכל איבר $a$ הנמצא בקבוצה (כלומר: לכל $a\in R$), קיים באותה הקבוצה גם איבר נגדי $-a$ (כלומר: $-a\in R$), כך ש: $a+\left(-a\right)=0$.

(R5) כלל האסוציאטיביות עבור כפל:
$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)\quad \left(a,b,c\in R\right)$.

(R6) כלל הדיסטריבוטיביות:
$a\left(b+c\right)=ab+ac{\text{ }}{\text{ ,}}\left(a+b\right)c=ac+bc\quad \left(a,b,c\in R\right)$.

אנו נעסוק אך ורק עם חוגים קומוטטיביים , הכוללים תכונה אחת נוספת:

(R7) כלל הקומוטטיביות עבור כפל:
$ab=ba\quad \left(a,b\in R\right)$.

חוג עם איבר יחידה $R$ , הנו למעשה קבוצה $R$, המקיימת את התכונות (R1) - (R6), וכן את התכונה הנוספת הבאה:

(R8) קיומו של איבר יחידה כפלי, דהיינו $1$:
קיים בקבוצה איבר יחידה כפלי, השונה מאפס, דהיינו: $1\neq 0$, הנמצא בקבוצה $R$, כך שלכל איבר $a$, הנמצא ב- $R$, מתקיים:
$a\cdot 1=1\cdot a=a$.

חוג קומוטטיבי $R$, הכולל איבר יחידה מכונה תחום שלמות ("דומיין אינטגרלי") או, בהקשרים מסויימים, "דומיין" בלבד. זאת, אם החוג מקיים את התכונה הבאה:

(R9) תכונת ביטול :
לכל $a,b,c\in R$, כאשר $c\neq 0$, מתקיים:

$ca=cb\Rightarrow a=b$.

חוג קומוטטיבי $R$, הכולל את איבר היחידה, מכונה בשם שדה, אם הוא בעל התכונה הבאה:

(R10) קיומו של מספר הופכי (כפלי) :
לכל איבר $a\neq 0$, הנמצא בחוג $R$, קיים גם $a^{-1}$ הנמצא בחוג $R$, כך שמתקיים:

$a\cdot a^{-1}=1$.

לעתים קרובות, נשאף לציין את $a^{-1}$ באמצעות ${\frac {1}{a}}$.

ניתן לראות, כי תכונה (R10) נובעת מתכונה (R9). טענה זו נכונה, כי קיים איבר (כפלי) בחוג, $a^{-1}={\frac {1}{a}}$, המבטל את $a$.
עם זאת, הטענה ההפוכה אינה נכונה. כלומר, תכונה (R9) אינה נובעת מתכונה (R10).

דוגמה: לכל $a,b\in R$ ($R$ חוג כלשהו) ניקח את המשוואה: $a\cdot b=0$.
נשאלת השאלה: האם עבור $a=0$ ב- $R$ - קיים איבר $b$ המקיים את המשוואה $a\cdot b=0$?
התשובה היא לא, כיוון שלא ניתן לחלק באפס, כלומר, לא קיים $b$ המקיים: ${\frac {b}{0}}$.
על כן, $a\cdot b=0\Rightarrow a=0{\text{ or }}b=0$.
.

תרגילים

1.1. יהי $R$ חוג.
(i) הוכח שלכל $a\in R$, מתקיים:

$a\cdot 0=0\cdot a=0$.

פתרון:
שלב ראשון: שימוש בתכונת ה- $0$:
$\underbrace {0+0=0} _{\text{property of 0}}$ .
שלב שני: הכפלת שני צדי המשוואה ב- $a$:
$a\cdot \left(0+0\right)=a\cdot 0$ .
שלב שלישי: שימוש בכלל הדיסטריבוטיביות (חוק הפילוג) באגף השמאלי של המשוואה:
$\underbrace {a\cdot \left(0+0\right)=a\cdot 0+a\cdot 0} _{\text{distributivity law, left side}}=a\cdot 0$ .
שלב רביעי: שימוש באיבר נגדי חיבורי:
$\underbrace {\left(a\cdot 0+a\cdot 0\right)+\left(-a\cdot 0\right)=a\cdot 0+\left(-a\cdot 0\right)} _{\text{existence of additive inverse}}$ .
שלב חמישי: שימוש בכלל האסוציאטיביות, באגף השמאלי של המשוואה:
אגף שמאל של המשוואה: $\underbrace {\left(a\cdot 0\right)+\left(a\cdot 0+\left(-a\cdot 0\right)\right)} _{\text{associativity, left side}}=a\cdot 0$
אגף ימין של המשוואה: $a\cdot 0+\left(-a\cdot 0\right)=0$ .
לבסוף נקבל, לאחר השוואת שני אגפי המשוואה:
$a\cdot 0=0$ .

להוכחת התכונה ההפוכה, $0=a\cdot 0$, נסתפק בשלבים הראשון והשני בלבד:
שלב ראשון: שימוש בתכונת ה- $0$:
$\underbrace {0=0+0} _{\text{property of 0}}$ .
שלב שני: הכפלת שני צדי המשוואה ב- $a$:
$a\cdot 0=a\cdot \left(0+0\right)$ .
מ.ש.ל.