משתמש:Zivssps/נוסחת סדרת פיבונאצ'י

הוכחה

נגדיר סדרה בעלת שני איברים ראשונים כלשהם $S_{0}$ ו-$S_{1}$ וכל איבר לאחר מכן שווה לסכום של שני קודמיו, כך ש $S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}$, ופונקציה $f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}$ המתאימה לכל $|x|<1$.

נשים לב ש

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}=S_{0}+S_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }S_{n}x^{n}\\xf(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n+1}=S_{0}x+\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}x^{n+1}=S_{0}x+\sum _{n=2}^{\infty }S_{n-1}x^{n}\\x^{2}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n+2}=\sum _{n=2}^{\infty }S_{n-2}x^{n}\end{aligned}}$.

אם כך,

${\begin{aligned}f(x)-xf(x)-x^{2}f(x)&=S_{0}+S_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }S_{n}x^{n}-\left(S_{0}x+\sum _{n=2}^{\infty }S_{n-1}x^{n}\right)-\left(\sum _{n=2}^{\infty }S_{n-2}x^{n}\right)\\&=S_{0}+S_{1}x-S_{0}x+\sum _{n=2}^{\infty }\left(S_{n}x^{n}-S_{n-1}x^{n}-S_{n-2}x^{n}\right)\\&=S_{0}+(S_{1}-S_{0})x+x^{n}\sum _{n=2}^{\infty }\overbrace {\left(S_{n}-S_{n-1}-S_{n-2}\right)} ^{0}\\&=S_{0}+(S_{1}-S_{0})x=f(x)\left(1-x-x^{2}\right)\end{aligned}}$.

לכן

$f(x)={\frac {S_{0}+(S_{1}-S_{0})x}{1-x-x^{2}}}$.

נסמן $\phi _{+}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, $\phi _{-}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$, שאלו הם שורשי המשוואה $x^{2}+x-1=(x+\phi _{+})(x+\phi _{-})$.

לכן

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {S_{0}+(S_{1}-S_{0})x}{1-x-x^{2}}}=-{\frac {S_{0}+(S_{1}-S_{0})x}{(x+\phi _{+})(x+\phi _{-})}}\\\\&=-(-\phi _{+})(-\phi _{-}){\frac {S_{0}+(S_{1}-S_{0})x}{(-\phi _{-})(x+\phi _{+})(-\phi _{+})(x+\phi _{-})}}=\\\\&={\frac {S_{0}+(S_{1}-S_{0})x}{(-\phi _{-}x+1)(-\phi _{+}x+1)}}={\frac {A}{1-x\phi _{+}}}+{\frac {B}{1-x\phi _{-}}}=\\\\&={\frac {A(1-x\phi _{-})+B(1-x\phi _{+})}{(1-x\phi _{+})(1-x\phi _{-})}}={\frac {A-Ax\phi _{-}+B-Bx\phi _{+}}{(1-x\phi _{+})(1-x\phi _{-})}}=\\\\&={\frac {A+B-x(A\phi _{-}+B\phi _{+})}{(1-x\phi _{+})(1-x\phi _{-})}}\end{aligned}}$

$\Rightarrow \left.{\begin{matrix}A+B=S_{0}\\-(A\phi _{-}+B\phi _{+})=S_{1}-S_{0}\end{matrix}}\right\}$

פתרון מערכת המשוואות הזאת היא $A={\frac {S_{1}-S_{0}\phi _{-}}{\sqrt {5}}}$ ו- $B={\frac {S_{0}\phi _{+}-S_{1}}{\sqrt {5}}}$.

לכן

$f(x)={\frac {S_{1}-S_{0}\phi _{-}}{\sqrt {5}}}{\frac {1}{1-x\phi _{+}}}+{\frac {S_{0}\phi _{+}-S_{1}}{\sqrt {5}}}{\frac {1}{1-x\phi _{-}}}$ על פי טור טיילור האומר ש ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ לכל $|x|<1$,

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {S_{1}-S_{0}\phi _{-}}{\sqrt {5}}}\sum _{n=0}^{\infty }(x\phi _{+})^{n}+{\frac {S_{0}\phi _{+}-S_{1}}{\sqrt {5}}}\sum _{n=0}^{\infty }(x\phi _{-})^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {S_{1}-S_{0}\phi _{-}}{\sqrt {5}}}x^{n}\phi _{+}^{n}+{\frac {S_{0}\phi _{+}-S_{1}}{\sqrt {5}}}x^{n}\phi _{-}^{n}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {S_{1}-S_{0}\phi _{-}}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {S_{0}\phi _{+}-S_{1}}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}\right)x^{n}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}\end{aligned}}$.

$\Rightarrow S_{n}={\frac {S_{1}-S_{0}\phi _{-}}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {S_{0}\phi _{+}-S_{1}}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}$.

שני האיברים הראשונים בסדרת פיבונאצ'י, הם $F_{0}=0$, $F_{1}=1$.

לכן הנוסחה לסדרה היא $F_{n}={\frac {1-0\phi _{-}}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {0\phi _{+}-1}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}={\frac {\phi _{+}^{n}-\phi _{-}^{n}}{\sqrt {5}}}$.

שני האיברים הראשונים במספרי לוקאס, הם $L_{0}=2$, $L_{1}=1$.

לכן הנוסחה לסדרה היא ${\begin{aligned}L_{n}&={\frac {1-2\phi _{-}}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {2\phi _{+}-1}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}={\frac {1-2{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}-1}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}=\\&={\frac {1-(1-{\sqrt {5}})}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {1+{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}\phi _{+}^{n}+{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}\phi _{-}^{n}=\phi _{+}^{n}+\phi _{-}^{n}\end{aligned}}$.

[[קטגוריה:סדרת פיבונאצ'י]]