נוסחת קושי-בינה

באלגברה ליניארית, נוסחת קושי בינה היא נוסחה לדטרמיננטה של מכפלת מטריצות שאינן דווקא ריבועיות.

הדטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות. היא כפלית, כלומר מקיימת את הזהות $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר. נוסחת קושי בינה מכלילה את הזהות גם למטריצות שאינן דווקא ריבועיות.

הנוסחה

תהיינה $A,B$ מטריצות מסדר $m\times n,n\times m$ בהתאמה. נסמן ב-$S$ את קבוצת כל תתי הקבוצות של $\{1,2,..,n\}$ מגודל m. עבור $\tau \in S$, נסמן ב-$A^{\tau }$ את המטריצה המתקבלת מהעמודות של A באינדקסים הנמצאים ב-$\tau$ (בסדר המקורי), וב-$B^{\tau }$ את המטריצה המתקבלת מהשורות של B באינדקסים הנמצאים ב-$\tau$ (בסדר המקורי). אז מתקיים:

$\det(AB)=\sum _{\tau \in S}\det(A^{\tau })\det(B^{\tau })$

הנוסחה מעניינת כאשר n>m. אם n=m, אז $S=\{\{1,...,n\}\}$ כלומר תת-הקבוצה היחידה היא הקבוצה כולה ואז המטריצות זהות למקוריות ומתקבלת הזהות $\det(AB)=\det(A)\det(B)$. אם m>n, אין תתי קבוצות כאלה ולכן הסכום הוא הסכום הריק ששווה ל-0, ואכן במקרה זה הדטרמיננטה בהכרח 0 כי המטריצה לא הפיכה משיקולי דרגות. לכן הנוסחה נכונה תמיד.

הוכחה

נסמן את העמודה ה-i של מטריצה $M$ ב-$M_{i}$ כמו כן, נסמן ב-$(M_{1},...,M_{n})$, כאשר $M_{i}$ הם וקטורי עמודה, את המטריצה המתקבלת מהם. לבסוף נסמן ב-$S_{n}$ את קבוצת כל התמורות על $\{1,...,n\}$.

נשתמש במולטילינאריות הדטרמיננטה ובנוסחה הישירה ונקבל:

$\det(AB)=\det(AB_{1},...,AB_{m})=\det(\sum _{i=1}^{n}b_{i1}A_{i},...,\sum _{i=1}^{n}b_{im}A_{i})$

$=\sum _{1\leq i_{1},...,i_{m}\leq n}b_{i_{1}1},...,b_{i_{m}m}\det(A_{i_{1}},...,A_{i_{m}})$

$=\sum _{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq n}\sum _{\sigma \in S_{n}}b_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\det(A_{i_{\sigma (1)}},...,A_{i_{\sigma (m)}})$

$=\sum _{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq n}\sum _{\sigma \in S_{n}}b_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\operatorname {sgn}(\sigma )\det(A_{i_{1}},...,A_{i_{m}})$

$=\sum _{\tau \in S}\det(A^{\tau })\det(B^{\tau })$

כרצוי.

הכללות

ניתן להכליל את המשפט באופן הבא: תהיינה $A,B$ מטריצות מסדר $m\times n,n\times p$ בהתאמה. תהיינה $I,J$ תתי קבוצות של $\{1,..,m\},\{1,...,p\}$ בהתאמה בגודל k. נסמן ב-$S$ את קבוצת כל תתי הקבוצות של $\{1,2,..,n\}$ מגודל k. עבור $U,V$ תתי קבוצות של טבעיים, נסמן ב-$M_{UV}$ את המטריצה המתקבלת מהשורות של $M$ שנמצאות ב-$U$, והעמודות של $M$ הנמצאות ב-$V$. אז מתקיים:

$\det(AB_{IJ})=\sum _{K\in S}\det(A_{IK})\det(B_{KJ})$.