סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית , בו מנת הסדרה
q
{\displaystyle q}
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
הוכחת נוסחת סכום הסדרה ההנדסית האינסופית
עריכה
תרשים להמחשת סכום הסדרה ההנדסית
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }
נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת
{
a
n
}
n
=
1
∞
=
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
…
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }=a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots }
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
lim
n
→
∞
q
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }q^{n}=0}
את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת מסמנים
S
{\displaystyle S}
S
∞
{\displaystyle S_{\infty }}
S
n
=
a
1
q
n
−
1
q
−
1
{\displaystyle S_{n}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}}
גבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר:
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
a
1
q
n
−
1
q
−
1
=
a
1
lim
n
→
∞
(
q
n
−
1
)
lim
n
→
∞
(
q
−
1
)
=
a
1
0
−
1
q
−
1
=
a
1
1
−
q
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}=a_{1}{\frac {\lim \limits _{n\to \infty }(q^{n}-1)}{\lim \limits _{n\to \infty }(q-1)}}=a_{1}{\frac {0-1}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}}
ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת
a
1
=
1
,
q
=
0.5
{\displaystyle a_{1}=1,q=0.5}
S
=
1
1
−
0.5
=
1
0.5
=
2
{\displaystyle S={\frac {1}{1-0.5}}={\frac {1}{0.5}}=2}
קישורים חיצוניים
עריכה
