פולינומי צ'בישב

(הופנה מהדף פולינומי צ'ביצ'ב)

סדרת פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) היא סדרה של פולינומים בעלי מקדמים שלמים, , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן מקיים את האי-שוויון , והפולינומים הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

T1, T2, T3, T4, T5

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

הגדרה ותכונות יסוד עריכה

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה  , שבגללה   לכל  . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

 

מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- -י היא  .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

 

מן ההגדרה נובע כי

 

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

 

ולקבל את הפונקציה היוצרת

 

מתקיים גם השוויון  .

פולינומי צ'בישב   מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת  .

השלכות לבניות גאומטריות עריכה

מכך שמעלת   היא   נובע כי   פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה  , ובפרט הממד  . אם בוחרים   מתקבל  , ולעיתים קרובות   הוא הפולינום המינימלי של  .

ראו גם עריכה

קישורים חיצוניים עריכה

  מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף