פתיחת התפריט הראשי

פולינומי צ'בישב

T1, T2, T3, T4, T5

סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן מקיים את אי-השוויון , והפולינומים הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

הגדרה ותכונות יסודעריכה

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה  , שבגללה   לכל x. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:  ,   ו-  . מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- -י היא  .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

 

מן ההגדרה נובע ש-

 ,

וכן

 .

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

 
ולקבל את הפונקציה היוצרת

 .

מתקיים גם השוויון  .

פולינומי צ'ביצ'ב   מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת  .

השלכות לבניות גאומטריותעריכה

מכך שמעלת   היא n נובע כי   פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה  , ובפרט הממד  . אם בוחרים   מתקבל  , ולעיתים קרובות   הוא הפולינום המינימלי של  .

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף