פונקציה מרומורפית

פונקציה מֶרוֹמורפית היא פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב מלבד בנקודות בקבוצה של קטבים מבודדים. כל פונקציה כזו יכולה להירשם כיחס של שתי פונקציות הולומורפיות כאשר הפונקציה שבמכנה היא לא הקבוע אפס. להפך, כל מנה כזו היא פונקציה מרומורפית. במקרה כזה, הקטבים הם (חלק מ)הנקודות בהן מתאפסת הפונקציה שבמכנה.

הגדרה מתמטיתעריכה

עבור תת-תחום   של המספרים המרוכבים (משמע  ) הפונקציה   תיקרא מרומורפית ב   אם יש קבוצה בדידה של נקודות   כך ש   אנליטית בקבוצה   וכל הנקודות בקבוצה   הן או נקודות סינגולריות סליקות או קטבים של הפונקציה.

בניסוח שונה, פונקציה מרומורפית בקבוצה   היא פונקציה מ   לתוך הספירה של רימן שהיא הולומורפית בכל נקודה - גם בנקודות שתמונתן היא   ושהיא אינה הפונקציה הקבועה המקבלת את הערך  .

דוגמאותעריכה

  • הפונקציה   היא מרומורפית בכל המישור המרוכב. לפונקציה זו יש אינסוף קטבים.
  • הפונקציה   איננה מרומורפית בכל המישור המרוכב משום שיש לה סינגולריות עיקרית ב-0.

תכונותעריכה

  • אוסף הפונקציות המרומורפיות בתחום   מהווה שדה, כלומר הוא סגור לחיבור, חיסור, כפל וחילוק. זהו שדה השברים של חוג הפונקציות ההולומורפיות. שדה זה הוא הרחבה של שדה המספרים המרוכבים (שמוכל בשדה הפונקציות המרומורפיות כפונקציות הקבועות).

ממדים גבוהיםעריכה

עבור יריעות מרוכבות בממד גבוה, מגדירים פונקציה מרומורפית בתור מנה של שתי פונקציות הולומורפיות.