פונקציה מרומורפית

פונקציה מֶרוֹמורפית היא פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב מלבד בנקודות בקבוצה של קטבים מבודדים. כל פונקציה כזו יכולה להירשם כיחס של שתי פונקציות הולומורפיות כאשר הפונקציה שבמכנה היא לא הקבוע אפס. להפך, כל מנה כזו היא פונקציה מרומורפית. במקרה כזה, הקטבים הם (חלק מ)הנקודות בהן מתאפסת הפונקציה שבמכנה.

הגדרה מתמטית

עבור תת-תחום $D$ של המספרים המרוכבים (משמע $D\subset \mathbb {C}$) הפונקציה $f(z)$ תיקרא מרומורפית ב-$D$ אם יש קבוצה בדידה של נקודות $S\subset D$ כך ש-$f(z)$ אנליטית בקבוצה $D\setminus S$ וכל הנקודות בקבוצה $S$ הן או נקודות סינגולריות סליקות או קטבים של הפונקציה.

בניסוח שונה, פונקציה מרומורפית בקבוצה $D$ היא פונקציה מ-$D$ לתוך הספירה של רימן שהיא הולומורפית בכל נקודה - גם בנקודות שתמונתן היא $\infty$ ושהיא אינה הפונקציה הקבועה המקבלת את הערך $\infty$.

דוגמאות

• פונקציות רציונליות הן מרומורפיות במישור המרוכב.

• הפונקציה ${\frac {z}{\sin z}}$ היא מרומורפית בכל המישור המרוכב. לפונקציה זו יש אינסוף קטבים.

• פונקציית זטא של רימן ופונקציית גמא הן מרומורפיות בכל המישור המרוכב.

• הפונקציה $e^{\frac {1}{z}}$ איננה מרומורפית בכל המישור המרוכב משום שיש לה סינגולריות עיקרית ב-0.

תכונות

• אוסף הפונקציות המרומורפיות בתחום $D$ מהווה שדה, כלומר הוא סגור לחיבור, חיסור, כפל וחילוק. זהו שדה השברים של חוג הפונקציות ההולומורפיות. שדה זה הוא הרחבה של שדה המספרים המרוכבים (שמוכל בשדה הפונקציות המרומורפיות כפונקציות הקבועות).

• את ההגדרה של פונקציה מרומורפית ניתן להרחיב לפונקציות מרוכבות המוגדרות על משטח רימן (לדוגמה, הספירה של רימן או עקום אליפטי). אם העקום הוא קומפקטי, שדה הפונקציות המרומורפיות עליו הוא הרחבת שדות מדרגת טרנסצנדנטיות 1 של המרוכבים.

ממדים גבוהים

עבור יריעות מרוכבות בממד גבוה, מגדירים פונקציה מרומורפית בתור מנה של שתי פונקציות הולומורפיות.

קישורים חיצוניים

• פונקציה מרומורפית, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציות מרומורפיות, דף שער בספרייה הלאומית