קובץ:Part of parameter plane with external 5 rays landing on the Mandelbrot set.png
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תוכן עניינים
תקציר
תיאורPart of parameter plane with external 5 rays landing on the Mandelbrot set.png |
English: Part of parameter plane with 5 external rays landing on the Mandelbrot set |
תאריך יצירה | |
מקור | Made with c program[1] by Claude Heiland-Allen[2] |
יוצר | Adam majewski |
רישיון
- הנכם רשאים:
- לשתף – להעתיק, להפיץ ולהעביר את העבודה
- לערבב בין עבודות – להתאים את העבודה
- תחת התנאים הבאים:
- ייחוס – יש לתת ייחוס הולם, לתת קישור לרישיון, ולציין אם נעשו שינויים. אפשר לעשות את זה בכל צורה סבירה, אבל לא בשום צורה שמשתמע ממנה שמעניק הרישיון תומך בך או בשימוש שלך.
- שיתוף זהה – אם תיצרו רמיקס, תשנו, או תבנו על החומר, חובה עליכם להפיץ את התרומות שלך לפי תנאי רישיון זהה או תואם למקור.
Software
Program :
- is made with c / gcc
- uses GMP for arbitrary precision rationals
- MPFR for arbitrary precision floating point
- OpenMP
Algorithms
- exterior :
- Smooth colouring with continuous escape time
- grid based on integer escape time and binary decomposition
- Atom domains
- external rays : the Newton Method[3]
- interior :
- boundary : distance estimation ( DEM/M)
All algorithms are described in the book : "How To Write A Book About The Mandelbrot Set" by Claude Heiland-Allen[6]
Image description
This image show part of parameter plane of complex quadratic polynomial.
Plane
Center c = -1.1815256967956639e-01 +6.4962873032063617e-01 * i
radius =1.75e-04
External rays
G Pastor gave an example of external rays for which the resolution of the IEEE 754 is not sufficient [7]:
( period 3, lands on root point of period 3 component c3 = -0.125000000000000 +0.649519052838329i )
One can analyze these angles using program by Claude Heiland-Allen :
./bin/mandelbrot_describe_external_angle ".(001)"
binary: .(001)
decimal: 1/7
preperiod: 0
period: 3
./bin/mandelbrot_describe_external_angle
".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010)"
binary:
.(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010)
decimal:
33877456965431938318210482471113262183356704085033125021829876006886584214655562/237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927
preperiod: 0
period: 267
./bin/mandelbrot_describe_external_angle
".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010001)"
binary:
.(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010001)
decimal:
33877456965431938318210482471113262183356704085033125021829876006886584214655569/237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927
preperiod: 0
period: 267
./bin/mandelbrot_describe_external_angle
".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010001)"
binary:
.(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010001)
decimal:
67754913930863876636420964942226524366713408170066250043659752013773168429311121/474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177855
preperiod: 0
period: 268
./bin/mandelbrot_describe_external_angle
".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010)"
binary:
.(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010)
decimal:
67754913930863876636420964942226524366713408170066250043659752013773168429311122/474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177855
preperiod: 0
period: 268
Landing points of above rays are roots with angled internal addresses ( description by Claude Heiland-Allen) :
- the upper one will be 1 -> 1/3 -> 3 -> 1/(period/3) -> period because it's the nearest bulb to the lower root cusp of 1/3 bulb and child bulbs of 1/3 bulb have periods 3 * denominator(internal angle) ie, 1 -> 1/3 -> 3 -> 1/89 -> 267
- the lower one will be 1 -> floor(period/3)/period -> period because it's the nearest bulb below the 1/3 cusp ie, 1 -> 89/268 -> 268
- the middle ray .(001) lands at the root of 1 -> 1/3 -> 3, from the cusp on the lower side (which is on the right in a standard unrotated view)
Bash source code
"... be aware that the code is in alpha state and might change making the examples incompatible " Claude Heiland-Allen
Note :
- heredoc syntax
- pipeline
#!/bin/bash
# test by M. Romera, G. Pastor, A. B. Orue, A. Martin, M.-F. Danca, and F. Montoya
# calculation of external angles in ghci:
# > let rep n s = concat (replicate n s)
# > putStrLn $ ".(" ++ rep 88 "001" ++ "010)"
# > putStrLn $ ".(" ++ rep 87 "001" ++ "010001)"
# > putStrLn $ ".(" ++ rep 88 "001" ++ "0001)"
# > putStrLn $ ".(" ++ rep 88 "001" ++ "0010)"
# labels computed by ray-in.c, output pasted below
# right hand cusp of 1/3 bulb
re="-1.1815256967956639e-01"
im="6.4962873032063617e-01"
r="1.75e-04"
view="$re $im $r"
# escape radius
er="512"
# filename stem
stem="ray-in"
# image size in pixels
w="1920"
h="1080"
# maximum iterations
n="65536"
# interior rendering
i="1"
# ray depth
d="8192"
# render background image
./render $view "$er" "$stem" "$w" "$h" "$n" "$i" && ./colour "$stem" > "$stem.ppm"
# compute rays in parallel
./ray_in ".(001)" $d > "$stem-ray1.txt" &
./ray_in ".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010)" $d > "$stem-ray2.txt" &
./ray_in ".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010001)" $d > "$stem-ray3.txt" &
./ray_in ".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010001)" $d > "$stem-ray4.txt" &
./ray_in ".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010)" $d > "$stem-ray5.txt" &
wait
# annotate background with rays and labels
./annotate "$stem.ppm" "$stem.png" <<EOF
rgba 1 1 1 1
line cat "$stem-ray1.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray2.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray3.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray4.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray5.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
text `echo '-1.1822526882505369174786906160298e-01 6.4976152480139330552861597620428e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 1/89
text `echo '-1.1822493706369402373694114253571e-01 6.497492977188836930425943612155e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 267
text `echo '-1.1823989797024315747580621362645e-01 6.4947944517318122236851485691881e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 89/268
text `echo '-1.182402951560276787014475129283e-01 6.4949165134945441813936036487738e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 268
EOF
References
- ↑ c program by Claude Heiland-Allen
- ↑ Claude Heiland-Allen - blog
- ↑ An algorithm to draw external rays of the Mandelbrot set by Tomoki KAWAHIRA
- ↑ Interior coordinates in the Mandelbrot set
- ↑ Modified Atom Domains
- ↑ Mandelbrot Notebook
- ↑ A Method to Solve the Limitations in Drawing External Rays of the Mandelbrot Set M. Romera,1 G. Pastor, A. B. Orue,1 A. Martin, M.-F. Danca,and F. Montoya
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13 באוקטובר 2014
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תאריך/שעה | תמונה ממוזערת | ממדים | משתמש | הערה | |
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נוכחית | 18:46, 1 באוגוסט 2023 | 1,080 × 1,920 (1.24 מ"ב) | Obscure2020 | Optimized with OxiPNG and ZopfliPNG. | |
21:56, 24 באוקטובר 2014 | 1,080 × 1,920 (1.83 מ"ב) | Soul windsurfer | annotations | ||
19:28, 13 באוקטובר 2014 | 1,080 × 1,920 (1.83 מ"ב) | Soul windsurfer | smaller size, rays are better visualised | ||
19:26, 13 באוקטובר 2014 | 2,000 × 4,000 (6.4 מ"ב) | Soul windsurfer | User created page with UploadWizard |
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