קוד גאוס

דיאגרמה של קשר יחד עם קידוד Dowker שלה. הקשר שבתמונה שקול טופולוגית לקשר השמונה.

בתורת הקשרים, קוד גאוס הוא שיטה לתיאור הדיאגרמה המישורית של קשר נתון באמצעות סדרה של מספרים או אותיות. הוא תואר לראשונה על ידי קרל פרידריך גאוס במספר כתבים לא מפורסמים.

קוד גאוס דומה לסימון Dowker, אלא שבמקום לייצג כל צומת על ידי שני מספרים שונים (כמו בסימון Dowker), בקוד גאוס כל צומת מיוצגת על ידי מספר יחיד, עד כדי סימן שתלוי באם חולפים מעל לצומת או מתחת לה. באיור משמאל מוצגת עקומה מישורית יחד עם סימון Dowker שלה כדי להדגים את שיטת הקידוד, זאת שכן העיקרון של קידוד גאוס זהה.

תיאורעריכה

בעבור דיאגרמת קשר עם n צמתים, קוד גאוס מתאים לה סדרה של 2n מספרים הנבחרים מהקבוצה { }. תהליך ההתאמה נעשה בצורה הבאה:

נבחר על העקום נקודה שרירותית שאינה צומת, ואז נתחיל "לטייל" לאורך הקשר במגמה קבועה מסוימת. כאשר נחלוף על פני הצומת הראשונה, נתאים לה את המספר 1. בדומה לכך, בכל פעם שנחלוף על פני צומת, נרשום לידה את המספר הסידורי שמתאים לה. עם זאת, כאשר נחלוף על פני צומת שכבר התאמנו לה מספר, נרשום מספר השווה לנגדי של המספר הסידורי שכבר קיים לצומת. הסימן של המספר למעשה מייצג האם העקומה חולפת "מתחת" או "מעל" לצומת. במקביל לרישום המספרים המתאימים לנקודות הצומת, נרשום סדרה של מספרים שמייצגים את המספרים הסידוריים של הצמתים שחלפנו על פניהם. כיוון שעל פני כל צומת אנו חולפים פעמיים, קיבלנו איפה סדרה של 2n מספרים, אשר בה כל אחד מהערכים המוחלטים של המספרים הסידוריים המתאימים לצמתים (הווה אומר, מספר מ-1 עד n) מופיע פעמיים.

למשל, לקשר התלתן יש קוד גאוס: 3-, 2, 1-, 3, 2-, 1, ואילו לקשר השמונה מתאים קוד גאוס: 4+, 2-, 3+, 4-, 1+, 3-, 2+, 1-.

באופן כללי, כאשר אין חשיבות לסימן[1], מספר הרצפים האפשריים עבור דיאגרמת קשר עם n צמתים הוא המקדם המולטינומי:  .

תנאי הזוגיותעריכה

בכתביו הלא מפורסמים, גאוס העלה את השאלה אילו רצפים של מספרים או אותיות יכולים לייצג דיאגרמות קשר אמיתיות, ועשה אבחנה לא טריוויאלית בנוגע לאפיון הרצפים ברי המימוש. למעשה הוא שאל שאלה קשה יותר - אילו רצפי סמלים נטולי סימן[2] יכולים לייצג דיאגרמות קשר אמיתיות? והאבחנה שעשה, שנקראת תנאי הזוגיות, מתייחסת לשאלה הזאת:

תנאי הזוגיות: שתי ההופעות של כל סמל בקוד גאוס של עקומה שחותכת את עצמה מופרדות על ידי מספר זוגי של סמלים.

הוכחה לטענה זאת ניתנה לראשונה על ידי המתמטיקאי Julius Nagy ב-1927. עם זאת, גאוס עצמו הבחין גם כי תנאי הזוגיות אינו מספיק כאשר  , וכמות רבה של מאמרים נכתבו על אפיון הסדרות שמייצגות עקומים אמיתיים.

מקורותעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ כלומר כאשר למשל 1+ ו-1- נחשבים שניהם ל-1.
  2. ^ כלומר כאשר משמיטים את הסימן (החיובי או השלילי) לפני כל סמל - כך למשל a+ ו-a- ייחשבו שניהם לאותו הסמל - a.