שיחה:גבול (טופולוגיה)

הערך אינו כללי מספיק. גבול של סדרה בטופולוגיה הוא מקרה פרטי של גבול של רשת בטופולוגיה. בהזדמנות (אולי אעשה זאת בעצמי בקרוב) כדאי לעדכן את זה. Liransh 13:14, 15 בספטמבר 2006 (IDT)

גבול בטופולוגיה הוא מושג שמתייחס לקבוצת נקודות כלשהי, לא בהכרח סדרה או רשת. Shmoran - שיחה 14:36, 16 בינואר 2024 (IST)

הזמנה להערות

אני מתכוון לעדכן ערך זה בעתיד הקרוב. אשמח להערות. Shmoran - שיחה 09:23, 14 בינואר 2024 (IST)

הוספתי את הפתיח "יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה." Shmoran - שיחה 10:13, 16 בינואר 2024 (IST)

בקשה להבהרה לביטול מחיקה

אתמול מחקתי את המשפט "יתרה מזו, ההכללה למרחבים שאינם מטריים מחייבת טיפול בגבולות של מערכות מורכבות, כמו רשתות או מסננים.", בתוספת נימוק (למשל שהטענה אינה מדוייקת, ואינה מוסיפה לטיפול במושג).

המחיקה שוחזרה ללא נימוק.

אשמח לנימוק. תודה. Shmoran - שיחה 08:43, 15 בינואר 2024 (IST)

באותו עניין: נראה לי שמקומם של הפסקאות:

---------

אחת הדרכים לאפיין מרחבי האוסדורף היא שגבול של סדרה במרחב כזה, כאשר הוא קיים, הוא יחיד.

רשת היא מערכת של נקודות  במרחב, כאשר קבוצת האינדקסים היא קבוצה סדורה המקיימת את התנאי הבא: לכל  קיים . נקודה y היא גבול של הרשת אם לכל סביבה , אברי הרשת שייכים אליה לבסוף (כלומר קיים  כך שאם  אז ). בניגוד לגבולות של סדרות, הכרת כל הגבולות של רשתות מאפשרת לשחזר את הטופולוגיה במלואה (כלומר, שתי טופולוגיות על X שעבורן לכל רשת יש אותן נקודות גבול, מוכרחות להיות שוות זו לזו).

---------

איננו בפרק ההגדרות. לכן נכון יהיה למחקן או להעבירן למקום אחר. Shmoran - שיחה 10:55, 15 בינואר 2024 (IST)

1. כשמחקת את המשפט על רשתות ומסננים, הנימוק היה "מחיקת משפט מיותר לטעמי, ואולי אף אינו מדוייק". האם אתה יודע מהם גבולות על רשתות ומסננים, ומה ההבדל בינם לבין גבולות של סדרות?

2. ולכן, מדוע אין מקומו של גבול על פני רשתות בפרק ההגדרות של גבולות בטופולוגיה? עוזי ו. - שיחה 15:32, 15 בינואר 2024 (IST)

. טענתי היא שהגדרת רשתות או מסננים אינה חלק מהגדרה הבסיסית של גבול בטופולוגיה, שמופיעה בפסקה הראשונה. ולכן היא מיותרת במשפט הפתיחה ויש להעביה למקום מאוחר יותר בערך זה. לא התייחסת לטענה זו. Shmoran - שיחה 08:03, 16 בינואר 2024 (IST)

הטענה הזו אינה נכונה. הגבול על רשתות או מסננים אינו חלק מההגדרה הבסיסית של גבול של סדרה בטופולוגיה. עוזי ו. - שיחה 11:45, 16 בינואר 2024 (IST)

שואל פעם נוספת: מדוע לא למחוק מהפיסקה הפותחת את המשפט

יתרה מזו, ההכללה למרחבים שאינם מטריים מחייבת טיפול בגבולות של מערכות מורכבות, כמו רשתות או מסננים.

ואם יש צורך להעביר התייחסות לרשתות \ מסננים למקום אחר? Shmoran - שיחה 14:02, 17 בינואר 2024 (IST)

לא למחוק ולא להעביר. נושא הערך הוא בעיקר גבולות של סדרות, וצריך להסביר מיד במבוא שמושג הגבול הטופולוגי הוא רחב יותר. עוזי ו. - שיחה 15:18, 17 בינואר 2024 (IST)

א. שמו של הערך הוא גבול (טופולוגיה) ולא גבול(של סדרות (טופולוגיה). ולכן יש לכלול בו גם את מושג הכללי של גבול בטופולוגיה

ב. לא הבנתי מדוע לא להעביר את הגדרת רשת ומסננים למקום מאוחר יותר. יש מרחבים טופולוגיים עבורם רשתות או מסננים אינם רלוונטיים (קל וחומר שאינם הכרחיים). Shmoran - שיחה 08:31, 18 בינואר 2024 (IST)

א. זה בדיוק מה שאמרתי. ב. איזה למשל? עוזי ו. - שיחה 17:12, 18 בינואר 2024 (IST)

ב. שאלה טובה. ב. תן דוגמה למרחב טופולוגי ששם יש הכרח להשתמש במסננים או רשתות, ואז ניתן יהיה להוסיף לשם. Shmoran - שיחה 08:00, 19 בינואר 2024 (IST)

ועוד באותו עניין: בספר הלימוד הקלאסי (והמצויין לדעתי)

Introduction to Topology and Modern Analysis

של GF Simons

לא מצאתי שימוש ברשתות (nets) או מסננים (filters). Shmoran - שיחה 09:02, 19 בינואר 2024 (IST)

אינני מכיר את הספר הזה (התאור שלו ב-Amazon בתור ספר שמטרתו להגביר את הבנת המושגים רציפות ולינאריות והקשר ביניהם, הוא משונה במקרה הטוב). אולי זה מפני שהספר מתמקד באנליזה ובטופולוגיה של מרחבים מטריים. עוזי ו. - שיחה 16:20, 19 בינואר 2024 (IST)

הספר עוסק בטופולוגיה כללית, לא רק של מרחבים מטריים. העובדה שאינו משתמש במסננים ורשתות,היא מעין "ראייה נסיבתית" לכך שאין הכרח להשתמש במושגים אלו כדי להגדיר התכנסות של סדרות במרחבים טופולגיים כלשהם. מספיקים המושגים ההכרחיים להגדרת מרחב טופולוגי - בסיס, תת בסיס וכו'.

רשתות ומסננים הם מושגים חשובים ואלגנטיים בתורת הקבוצות, אך ניתן להגדיר התכנסות של סדרות במרחבים טופולוגיים כלליים בלי להשתמש בהם. להלן הגדרה אפשרית:

סדרה במרחב טופולוגי מתכנסת לגבול L אם עבור כל סביבה פתוחה B של L, כל אברי הסדרה למעט מספר סופי נמצאים בB. Shmoran - שיחה 16:35, 19 בינואר 2024 (IST)

אינני יודע אם אתה רציני. בוודאי שאין צורך ברשתות כדי להגדיר גבולות של סדרות. אבל יש צורך ברשתות כדי לאפיין תכונות של מרחבים טופולוגיים. עוזי ו. - שיחה 22:23, 20 בינואר 2024 (IST)

מציע שהערות על רצינותו של מישהו נשאיר מחוץ לדיון הזה. תודה.

חוזר על בקשתי - תן דוגמה ל"תכונה של מרחב טופולוגי" שלא ניתן להגדירה ללא שימוש במסננים (או של קבוצות מכוונות באופן כללי). Shmoran - שיחה 07:42, 21 בינואר 2024 (IST)

ראה "Nets and filters (are better than sequences)", כבר בעמוד הראשון. סדרות הן כלי טוב במרחבים בעלי תכונת המנייה הראשונה (כגון מרחבים מטריים). עוזי ו. - שיחה 16:24, 19 בינואר 2024 (IST)

הטענה "סדרות הן כלי טוב במרחבים בעלי תכונת המנייה הראשונה" אינה סותרת את עמדתי. שים לב שבניגוד לסדרות, רשתות ומסננים רלוונטיים לטיפוסי סדר של קבוצות שאינן בנות מנייה. Shmoran - שיחה 16:38, 19 בינואר 2024 (IST)

סותרת משום שההמשך (שחשבתי שהוא מובן מאליו) של אותה טענה הוא שבמרחבים שאינם מקיימים את תכונת המנייה הראשונה בוודאי שאין די בסדרות. עוזי ו. - שיחה 22:27, 20 בינואר 2024 (IST)

ראה הערה למעלה. ואנא שים את לבך לכך שהטענה "אין די בסדרות" אינה שקולה לטענה "יש צורף במסננים או רשתות". Shmoran - שיחה 07:45, 21 בינואר 2024 (IST)

שחזור עמוק

לפני מספר ימים נכנסה לערך הטענה שגבולות הם נקודות הצטברות, ומאז בוקה ומבולקה. שחזרתי. בהמשך לדיון בסעיף הקודם, אוסיף לערך גם תוכן על רשתות ומסננים שיבהיר מדוע אין די בגבולות של סדרות. עוזי ו. - שיחה 22:25, 20 בינואר 2024 (IST)

הדבר המהותי ש"הוכנס לערך" הוא העובדה שגבול בטופולוגיה הוא מושג המתייחס בדרך כלל לקבוצות, לא רק לסדרות כפי ששמשתמע מהניסוח אליו חזרת.

הטענה הסתומה משהו ש"אין די בגבולת של סדרות" אינה שייכת לעניין. Shmoran - שיחה 07:38, 21 בינואר 2024 (IST)

אתה יכול לכתוב ערך על גבול טופולוגי של סדרת קבוצות. עוזי ו. - שיחה 01:17, 22 בינואר 2024 (IST)

נראה שלא הובנתי: הוספתי הגדרה לגבול של קבוצה, ולא של גבול של סדרת קבוצות. גבול (limit) של קבוצה הוא מושג בסיסי ביותר בטופולוגיה ולכן צריך להופיע בערך זה. Shmoran - שיחה 08:35, 22 בינואר 2024 (IST)

השאלה היא קודם כל דידקטית. איך לתאר מושג שיש לו כמה משמעויות קרובות. לדעתי הפתרון הטוב ביותר הוא להפריד בין הניצים: הערך הזה עוסק בגבול של סדרות (והכללות). הגבול של קבוצה נקרא גם (בעיקר?) נקודת הצטברות, וזה מתואר בערך נפרד (נקודת הצטברות). בלית ברירה, אם המושג "גבול" בטופולוגיה באמת מתייחס באופן תדיר לשני המושגים השונים האלה, אפשר להעביר את הערך הזה ל"גבול של סדרה (טופולוגיה)", אבל זה לא יהיה פתרון טוב כי ההכללות (לרשתות, למסננים) נקראות בשמות אחרים. עוזי ו. - שיחה 13:49, 23 בינואר 2024 (IST)

בעייה בדידקטיקה של הצגת המושג

הפיסקא הפותחת לא מכילה מושגים בסיסיים הנחוצים להגדרת גבול במרחב טופולוגי (בסיס ותת בסיס, סביבה פתוחה), אך מכילה מושגים המתבססים על הגדרות חסרות, ושאינם הכרחיים להבנת מושג הגבול בטופולוגיה - כאלו שאף אינם מופיעים בספרי לימוד קלסיים של טופולוגיה (מסננים, אקסיומת המניה הראשונה וכו'). לעניות דעתי זו טעות דידקטית חמורה שיש לתקנה. Shmoran - שיחה 11:00, 21 בינואר 2024 (IST)

ויקיפדיה אינה ספר לימוד. הערך נועד להסביר את המושג ואת ההקשרים שבהם הוא רלוונטי, ולא בהכרח להגדיר את הדברים בזה אחר זה כמו בספר. הערך צריך לאפשר לקורא לגלול אחורנית ולהשלים פערים. עוזי ו. - שיחה 01:17, 22 בינואר 2024 (IST)

השינוי העמוק שעשית מחק הסברים העונים על ההגדרה שלך, ללא כל נימוק. היום תיקנתי (פעם נוספת) את ההגדרה לגבול של סדרה, כולל נימוק (כתבתי "למעט מספר סופי" במקום "כמעט כל", שזהו מושג שנהוג לפרשו כ "כל... למעט קבומה שמידתה 0", ואינו מתאים להתכנסות של סדרה. Shmoran - שיחה 08:39, 22 בינואר 2024 (IST)

התיקון הזה אינו נחוץ ומאבד מושג מועיל; קרא את הערך כמעט כל. עוזי ו. - שיחה 12:32, 22 בינואר 2024 (IST)

האם קראת את הערתי הקודמת? לא התייחסת אליה. אחזור בניסוח שונה. התיקון נחוץ משום שהניסוח הקודם אינו מוגדר במקרה הטוב ועלול להטעות במקרה הפחות טוב. במיוחד, הערך "קבוצה זניחה" בו נעשה שימוש בהפניה שלך אינו מוגדר, ורק נכתב שהוא תלוי בהקשר. ובכן בהקשר מסויים קבוצה זניחה של מספרים טבעיים היא קבוצה שצפיפותה היחסית היא 0 (כלומר חלקה היחסי על רישות סופיות של הטבעיים שואף לאפס) - וזה לא מתאים להגדרת התכנסות של סדרות.

ו Shmoran - שיחה 13:47, 22 בינואר 2024 (IST)

מקבל, זה עדיף. עוזי ו. - שיחה 13:50, 23 בינואר 2024 (IST)

גבול של קבוצת נקודות הוא הערך הבסיסי בטופולוגיה

בטופולוגיה המושג גבול המתייחס ראשית לכל לגבול של קבוצת נקודות. לכן הוא חייב להופיע בערך ששמו הוא "גבול (טופולוגיה)". להלן מובאה מגוגל:

What is a limit point in topology?

In mathematics, a limit point, accumulation point, or cluster point of a set in a topological space is a point that can be "approximated" by points of in the sense that every neighbourhood of with respect to the topology on also contains a point of other than itself.

ועוד הערה שאולי גם שייכת: בפרק שהעלית לפני מספר ימים, הגדרה 3.1 של קבוצה מכוונת היא שגויה, משום שאינה דורשת שהיחס יהיה יחס סדר. אז כנראה עדיף להשתמש בספרי לימוד קלאסיים כאשר באים להגדיר מושג בסיסי כמו גבול. Shmoran - שיחה 16:37, 23 בינואר 2024 (IST)