שיחה:משפט ההדדיות הריבועית

למה 2

ההוכחה של למה 2 נקטעת באמצע, יש להשלים אותה.

אפשר להוכיח ככה, אבל לא יודע אם זה ההסבר של גאוס:

נסמן $s=\#\{k\leq (p-1)/2:(ka\mod p)>(p-1)/2\}$; כל שיש להוכיח הוא $s\equiv _{2}\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor ka/p\right\rfloor$. אכן מתקיים לכל k: $ka=p\left\lfloor ka/p\right\rfloor +t_{k}$ כאשר $t_{k}=ka\mod p$ היא שארית החלוקה.

נסכום את השוויון הנ"ל: $\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{ka}\equiv _{2}\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{p\left\lfloor ka/p\right\rfloor +t_{k}}$. נסתכל על השוויון מודולו 2 ונקבל בזכות אי-הזוגיות של a,p: $\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{k}=\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{\left\lfloor ka/p\right\rfloor +t_{k}}$. נסמן $m=\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{k}$.

נשים לב שלכל $1\leq k\leq (p-1)/2$ יש $1\leq b\leq (p-1)/2$ יחיד וייחודי עבורו $t_{k}=b$ או $t_{k}=p-b$; המקרה השני קורה בדיוק כאשר $t_{k}>(p-1)/2$ ובנוסף, בגלל ש p אי-זוגי, מתקיים $t_{k}\equiv _{2}b+1$.

אם נסכום על כל הk-ים הרלוונטיים במודולו 2, נסיק: $m+s\equiv _{2}\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{t_{k}}$. כעת, נציב ביטוי זה בנוסחא הקודמת, ונקבל $m\equiv _{2}\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{\left\lfloor ka/p\right\rfloor }+m+s$ וזה כמובן גורר $s\equiv _{2}\sum _{k=1}^{(p-1)/2}{\left\lfloor ka/p\right\rfloor }$ כדרוש.

ביבליוגרפיה

חסרות הפניות לספרים ומאמרים המוזכרים בטקסט.

השפעה תרבותית

העובדה שלמשפט פורסם ספר עם 196 הוכחות שונות (דומה למשפט פיתגורס שלגביו פורסם ספר שבו מפורטות 250 הוכחות שונות), למרות שלא ניתן קישור, רומזת שלמשפט יש השלכות תרבותיות וקשרים לנושאים מדעיים נוספים . הטקסט הקיים לא נותן שום כיוון לכך.

הבהרה

במאמר המקביל בוויקיפדיה האנגלית מדובר על שמונה הוכחות של גאוס למשפט ההדדיות. בגירסה העברית מודבר על שש הוכחות שונות. נו...

אנסה להוסיף מקורות בזמן הקרוב ולפתור את תעלומת מספר ההוכחות. גדי אלכסנדרוביץ' 01:02, 4 בפברואר 2007 (IST)

בהצלחה. ב- Mathworld מדובר על 8 הוכחות ובמקורות רבים נוספים. בפרט, במקור המונה אחת לאחת את ההוכחות שפורסמו, עם ביבליוגרפיה מדוייקת, מוזכרות 8 הוכחות של גאוס, אם כי לא ברצף כרונולוגי באשר שתי ההוכחות האחרונות שלו פורסמו ב- 1863 ז"א לאחר מותו... . הקישור הוא:

http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/rchrono.html

יש גם ערך בוויקיפדיה האנגלית בשם Proofs of quadratic reciprocity שראוי לעיון בעניין. בכל מקרה בהצלחה. --רש"י 01:28, 4 בפברואר 2007 (IST)

אוקיי, זה מסביר את אי ההתאמה עם הערך - הערך מדבר על "שש הוכחות שונות במהלך חייו". אתקן כדי לתת לגאוס את מלוא הקרדיט שמגיע לו. גדי אלכסנדרוביץ' 08:44, 4 בפברואר 2007 (IST)