משפט פון נוימן-מורגנשטרן בתורת ההחלטות הוא משפט האפיון של פונקציית התועלת , והוא קובע שאם לשחקן יחס ההעדפות שלם וטרנזיטיבי , ואם יחס ההעדפות מקיים ארבע אקסיומות מסוימות, אז ניתן לתאר את יחס ההעדפות של השחקן באמצעות פונקציית תועלת ליניארית . פונקציה פשוטה כזו נוחה מאוד בניתוח משחקים בעלי תוצאות לא ודאיות, מכיוון שהתועלת של כל הגרלה L תהיה שווה לתוחלת התועלת של התוצאות לפי L.
תחילה אנו מניחים שמקבל ההחלטות עומד בפני מצב עם מספר סופי של תוצאות אפשריות:
O
=
{
A
1
,
⋯
,
A
K
}
{\displaystyle O=\{A_{1},\cdots ,A_{K}\}}
L
{\displaystyle \,L}
A
k
{\displaystyle \,A_{k}}
p
k
{\displaystyle \,p_{k}}
L
=
[
p
1
(
A
1
)
,
…
,
p
K
(
A
K
)
]
{\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})]}
O
{\displaystyle \,O}
L
(
O
)
=
{
[
p
1
(
A
1
)
,
…
,
p
K
(
A
K
)
]
:
p
→
∈
Δ
K
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}(O)=\{[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})]:{\vec {p}}\in \Delta ^{K}\}}
סימפלקס ה-K ממדי:
Δ
K
=
{
p
→
∈
[
0
,
1
]
K
:
∑
k
=
1
K
p
k
=
1
}
{\displaystyle \Delta ^{K}=\{{\vec {p}}\in [0,1]^{K}:\sum \nolimits _{k=1}^{K}{p_{k}}=1\}}
L
^
{\displaystyle {\hat {L}}}
L
j
{\displaystyle \,L_{j}}
q
j
{\displaystyle \,q_{j}}
L
^
=
[
q
1
(
L
1
)
,
…
,
q
J
(
L
J
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]}
O
{\displaystyle \,O}
L
^
(
O
)
=
{
[
q
1
(
L
1
)
,
…
,
q
J
(
L
J
)
]
:
J
∈
N
,
L
j
∈
L
(
O
)
,
q
→
∈
Δ
J
}
{\displaystyle {\hat {\mathcal {L}}}(O)=\{[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]:J\in \mathbb {N} ,\ L_{j}\in {\mathcal {L}}(O),\ {\vec {q}}\in \Delta ^{J}\}}
עריכה
כעת נגדיר את העדפותיו של השחקן. יחס העדפות
≿
i
{\displaystyle \succsim _{i}}
יחס בינארי על
L
^
(
O
)
{\displaystyle {\hat {\mathcal {L}}}(O)}
i
{\displaystyle \,i}
L
^
1
,
L
^
2
{\displaystyle {\hat {L}}_{1},{\hat {L}}_{2}}
i
{\displaystyle \,i}
L
^
1
{\displaystyle {\hat {L}}_{1}}
L
^
2
{\displaystyle {\hat {L}}_{2}}
L
^
1
≿
i
L
^
2
{\displaystyle {\hat {L}}_{1}\succsim _{i}{\hat {L}}_{2}}
L
^
1
≈
i
L
^
2
{\displaystyle {\hat {L}}_{1}\approx _{i}{\hat {L}}_{2}}
טרנזיטיבי , שהרי אם יחס ההעדפות אינו טרנזיטיבי אנו עלולים לקבל מצבים שיש בהם סתירה לוגית כמו למשל: "השחקן מעדיף במבה על פני בייגלה, ומעדיף בייגלה על פני ביסלי, אך הוא מעדיף ביסלי על פני במבה". יהי אם כן
≿
i
{\displaystyle \succsim _{i}}
L
^
(
O
)
{\displaystyle {\hat {\mathcal {L}}}(O)}
i
{\displaystyle \,i}
u
:
L
^
(
O
)
→
R
{\displaystyle u:{\hat {\mathcal {L}}}(O)\rightarrow \mathbb {R} }
פונקציית תועלת המייצגת את יחס ההעדפות
≿
i
{\displaystyle \succsim _{i}}
L
^
1
,
L
^
2
∈
L
^
(
O
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{1},{\hat {L}}_{2}\in {\hat {\mathcal {L}}}(O)}
L
^
1
≿
i
L
^
2
⟺
u
(
L
^
1
)
≥
u
(
L
^
2
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{1}\succsim _{i}{\hat {L}}_{2}\quad \iff \quad u({\hat {L}}_{1})\geq u({\hat {L}}_{2})}
אורדינלית , כלומר מייצגת רק את סדר ההעדפות על התוצאות ואין בה שום חשיבות למידת ההעדפה של תוצאה כזו או אחרת. פונקציית תועלת
u
:
L
^
(
O
)
→
R
{\displaystyle u:{\hat {\mathcal {L}}}(O)\rightarrow \mathbb {R} }
ליניארית אם לכל הגרלה
L
^
=
[
q
1
(
L
1
)
,
q
2
(
L
2
)
,
…
,
q
J
(
L
J
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]}
u
(
L
^
)
=
q
1
u
(
L
1
)
+
q
2
u
(
L
2
)
+
…
+
q
J
u
(
L
J
)
{\displaystyle u({\hat {L}})=q_{1}u(L_{1})+q_{2}u(L_{2})+\ldots +q_{J}u(L_{J})}
עריכה
הנחות יסוד:
קיימת קבוצה סופית של פרסים
A
=
{
A
1
,
⋯
,
A
n
}
{\displaystyle A=\{A_{1},\cdots ,A_{n}\}}
לשחקן יש יחס ההעדפות על הגרלות מורכבות. הגרלה
L
{\displaystyle L}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
L
=
[
p
1
(
A
1
)
,
p
2
(
A
2
)
,
⋯
,
p
n
(
A
n
)
]
{\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),p_{2}(A_{2}),\cdots ,p_{n}(A_{n})]}
הגרלה מורכבת באופן הבא:
L
¯
=
[
q
1
(
L
1
)
,
.
.
.
,
q
j
−
1
(
L
j
−
1
)
,
q
j
(
M
)
,
q
j
+
1
(
L
j
+
1
)
,
.
.
.
,
q
J
(
L
J
)
]
{\displaystyle {\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_{j}(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_{J}(L_{J})]}
1
≤
∀
i
≤
j
{\displaystyle 1\leq \forall i\leq j}
L
i
{\displaystyle L_{i}}
∑
q
i
=
1
,
q
i
≥
0
{\displaystyle \sum q_{i}=1,q_{i}\geq 0}
תחת ההנחות הללו, ארבע האקסיומות בתועלת פון נוימן-מורגנשטרן הן רציפות , מונוטוניות , פישוט והצבה.
עבור שחקן
i
{\displaystyle i}
A
⪯
i
B
⪯
i
C
{\displaystyle A\preceq _{i}B\preceq _{i}C}
0
≤
θ
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq \theta _{i}\leq 1}
B
≈
i
[
θ
i
(
A
)
,
(
1
−
θ
i
)
C
]
{\displaystyle B\approx _{i}[\theta _{i}(A),(1-\theta _{i})C]}
כלומר,עבור יחס ההעדפות שלעיל לגבי שלושה פרסים
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
0
≤
θ
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq \theta _{i}\leq 1}
C
{\displaystyle C}
1
−
θ
i
{\displaystyle 1-\theta _{i}}
A
{\displaystyle A}
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
B
{\displaystyle B}
יהיו
0
≤
α
,
β
≤
1
{\displaystyle 0\leq \alpha ,\beta \leq 1}
A
≻
i
B
{\displaystyle A\succ _{i}B}
[
α
(
A
)
,
(
1
−
α
)
(
B
)
]
⪰
i
[
β
(
A
)
,
(
1
−
β
)
(
B
)
]
{\displaystyle [\alpha (A),(1-\alpha )(B)]\succeq _{i}[\beta (A),(1-\beta )(B)]}
α
≥
β
{\displaystyle \alpha \geq \beta }
כלומר, אם שחקן מעדיף את פרס
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
α
{\displaystyle \alpha }
A
{\displaystyle A}
לכל
j
=
1
,
2...
,
J
{\displaystyle j=1,2...,J}
L
j
{\displaystyle L_{j}}
L
j
=
[
p
1
j
(
A
1
)
,
p
2
j
(
A
2
)
,
.
.
.
,
p
K
j
(
A
K
)
]
{\displaystyle L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),p_{2}^{j}(A_{2}),...,p_{K}^{j}(A_{K})]}
ותהי ההגרלה המורכבת:
L
¯
=
[
q
1
(
L
1
)
,
q
2
(
L
2
)
,
.
.
.
,
q
j
(
L
j
)
]
{\displaystyle {\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{j}(L_{j})]}
לכל
k
=
1...
K
{\displaystyle k=1...K}
נגדיר:
r
k
=
[
(
q
1
)
p
k
1
+
(
q
2
)
p
k
2
+
.
.
.
+
(
q
j
)
p
k
J
]
{\displaystyle r_{k}=[(q_{1})p_{k}^{1}+(q_{2})p_{k}^{2}+...+(q_{j})p_{k}^{J}]}
(כלומר,בהסתברות
q
j
{\displaystyle q_{j}}
L
j
{\displaystyle L_{j}}
p
k
j
{\displaystyle p_{k}^{j}}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
j
{\displaystyle j}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
L
=
[
r
1
(
A
1
)
,
r
2
(
A
2
)
,
.
.
.
,
r
K
(
A
K
)
]
{\displaystyle L=[r_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),...,r_{K}(A_{K})]}
אזי:
L
≈
i
L
¯
{\displaystyle L\approx _{i}{\overline {L}}}
כלומר, בהינתן הגרלה המגדירה את ההסתברויות לזכות באוסף פרסים, כל הגרלה שתגדיר את אותן הסתברויות, גם אם היא בעלת יותר או פחות שלבים מההגרלה המקורית, שקולה להגרלה המקורית מבחינת יחס ההעדפות של השחקן.
תהי
L
¯
=
[
q
1
(
L
1
)
,
q
2
(
L
2
)
,
.
.
.
,
q
J
(
L
J
)
]
{\displaystyle {\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{J}(L_{J})]}
M
{\displaystyle M}
אם
L
j
≈
i
M
{\displaystyle L_{j}\approx _{i}M}
L
¯
≈
i
[
q
1
(
L
1
)
,
.
.
.
,
q
j
−
1
(
L
j
−
1
)
,
q
j
(
M
)
,
q
j
+
1
(
L
j
+
1
)
,
.
.
.
,
q
J
(
L
J
)
]
{\displaystyle {\overline {L}}\approx _{i}[q_{1}(L_{1}),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_{j}(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_{J}(L_{J})]}
האקסיומה דורשת כי אם בתוך הגרלה מורכבת נחליף הגרלה פשוטה בהגרלה השקולה לה, אזי השחקן יישאר אדיש בין ההגרלה המורכבת הראשונית לבין זו שבה החליפו את ההגרלות הפשוטות.
עריכה
אם יחס ההעדפות
≿
i
{\displaystyle \succsim _{i}}
L
^
(
O
)
{\displaystyle {\hat {\mathcal {L}}}(O)}
i
{\displaystyle \,i}
טענת עזר. אם יחס ההעדפות של שחקן מקיים את אקסיומות הרציפות והמונוטוניות, ואם
A
≿
i
B
≿
i
C
{\displaystyle A\succsim _{i}B\succsim _{i}C}
A
≻
i
C
{\displaystyle A\succ _{i}C}
θ
i
{\displaystyle \,\theta _{i}}
הוכחת הטענה. יהי
≿
i
{\displaystyle \succsim _{i}}
{
A
1
,
…
,
A
K
}
{\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{K}\}}
A
K
≻
i
A
1
{\displaystyle A_{K}\succ _{i}A_{1}}
לפי רציפות לכל
k
∈
{
1
,
…
,
K
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,K\}}
θ
i
k
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \theta _{i}^{k}\in [0,1]}
A
k
≈
i
[
θ
i
k
(
A
K
)
,
(
1
−
θ
i
k
)
(
A
1
)
]
{\displaystyle A_{k}\approx _{i}[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]}
אם
φ
i
k
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \varphi _{i}^{k}\in [0,1]}
A
k
≈
i
[
φ
i
k
(
A
K
)
,
(
1
−
φ
i
k
)
(
A
1
)
]
{\displaystyle A_{k}\approx _{i}[\varphi _{i}^{k}(A_{K}),(1-\varphi _{i}^{k})(A_{1})]}
φ
i
k
=
θ
i
k
{\displaystyle \varphi _{i}^{k}=\theta _{i}^{k}}
הוכחת המשפט. יהי
≿
i
{\displaystyle \succsim _{i}}
A
K
≻
i
A
1
{\displaystyle A_{K}\succ _{i}A_{1}}
שלב ראשון:
הגדרת פונקציה
u
i
{\displaystyle \,u_{i}}
לפי טענת עזר, לכל
k
∈
{
1
,
…
,
K
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,K\}}
מספר ממשי יחיד
θ
i
k
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \theta _{i}^{k}\in [0,1]}
A
k
≈
i
[
θ
i
k
(
A
K
)
,
(
1
−
θ
i
k
)
(
A
1
)
]
{\displaystyle A_{k}\approx _{i}[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]\ }
כעת נגדיר פונקציה
u
i
{\displaystyle \,u_{i}}
L
^
(
O
)
{\displaystyle {\hat {\mathcal {L}}}(O)}
L
^
=
[
q
1
(
L
1
)
,
…
,
q
J
(
L
J
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]}
q
→
∈
Δ
J
{\displaystyle {\vec {q}}\in \Delta ^{J}}
L
1
,
…
,
L
J
{\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{J}}
L
j
=
[
p
1
j
(
A
1
)
,
…
,
p
K
j
(
A
K
)
]
{\displaystyle L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,p_{K}^{j}(A_{K})]}
לכל
k
∈
{
1
,
…
,
K
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,K\}}
r
k
=
q
1
p
k
1
+
q
2
p
k
2
+
…
+
q
J
p
k
J
{\displaystyle r_{k}=q_{1}p_{k}^{1}+q_{2}p_{k}^{2}+\ldots +q_{J}p_{k}^{J}}
זוהי ההסתברות שתוצאת ההגרלה תהיה
A
k
{\displaystyle \,A_{k}}
u
i
{\displaystyle \,u_{i}}
u
i
(
L
^
)
=
r
1
θ
i
1
+
r
2
θ
i
2
+
…
+
r
K
θ
i
K
{\displaystyle u_{i}({\hat {L}})=r_{1}\theta _{i}^{1}+r_{2}\theta _{i}^{2}+\ldots +r_{K}\theta _{i}^{K}}
מכאן נובע בפרט שלכל הגרלה פשוטה
L
=
[
p
1
(
A
1
)
,
…
,
p
K
(
A
K
)
]
{\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})]}
u
i
(
L
)
=
∑
k
=
1
K
p
k
θ
i
k
{\displaystyle u_{i}(L)=\sum \limits _{k=1}^{K}{p_{k}\theta _{i}^{k}}}
שלב שני:
u
i
(
A
k
)
=
θ
i
k
{\displaystyle u_{i}(A_{k})=\theta _{i}^{k}}
k
∈
{
1
,
…
,
K
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,K\}}
הפרס
A
k
{\displaystyle \,A_{k}}
L
=
[
1
(
A
k
)
]
{\displaystyle \,L=[1(A_{k})]}
L
^
=
[
1
(
L
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}=[1(L)]}
L
^
{\displaystyle {\hat {L}}}
A
k
{\displaystyle \,A_{k}}
1
{\displaystyle \,1}
r
l
=
{
1
l
=
k
0
l
≠
k
{\displaystyle r_{l}=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}1\quad \quad \quad l=k\\0\quad \quad \quad l\neq k\\\end{array}}\right.}
מכאן נקבל כי:
u
i
(
A
k
)
=
θ
i
k
∀
k
∈
{
1
,
…
,
K
}
{\displaystyle u_{i}(A_{k})=\theta _{i}^{k}\quad \forall k\in \{1,\ldots ,K\}}
מכיוון ש-
θ
i
1
=
0
{\displaystyle \theta _{i}^{1}=0}
θ
i
K
=
1
{\displaystyle \theta _{i}^{K}=1}
u
i
(
A
1
)
=
0
{\displaystyle \,u_{i}(A_{1})=0}
u
i
(
A
K
)
=
1
{\displaystyle \,u_{i}(A_{K})=1}
שלב שלישי:
u
i
{\displaystyle \,u_{i}}
כדי להראות ש-
u
i
{\displaystyle \,u_{i}}
L
=
[
p
1
(
A
1
)
,
…
,
p
K
(
A
K
)
]
{\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})]}
u
i
(
L
)
=
∑
k
=
1
K
p
k
u
i
(
A
k
)
{\displaystyle u_{i}(L)=\sum \limits _{k=1}^{K}{p_{k}u_{i}(A_{k})}}
אך משוואה זו מתקיימת, שכן משלב ראשון אגף שמאל שווה ל-
∑
k
=
1
K
p
k
θ
i
k
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{K}{p_{k}\theta _{i}^{k}}}
שלב רביעי:
u
i
{\displaystyle \,u_{i}}
כדי להראות כי
u
i
{\displaystyle \,u_{i}}
≿
i
{\displaystyle \succsim _{i}}
L
^
{\displaystyle {\hat {L}}}
L
^
′
{\displaystyle {\hat {L}}'}
L
^
≿
i
L
^
′
⟺
u
i
(
L
^
)
≥
u
i
(
L
^
′
)
{\displaystyle {\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad u_{i}({\hat {L}})\geq u_{i}({\hat {L}}')}
תהיינה, אם כן,
L
^
{\displaystyle {\hat {L}}}
L
^
′
{\displaystyle {\hat {L}}'}
L
^
=
[
q
1
(
L
1
)
,
…
,
q
J
(
L
J
)
]
,
L
^
′
=
[
q
1
′
(
L
1
′
)
,
…
,
q
J
′
′
(
L
J
′
′
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]\quad ,\quad {\hat {L}}'=[q'_{1}(L'_{1}),\ldots ,q'_{J'}(L'_{J'})]}
כאשר
L
j
=
[
p
1
j
(
A
1
)
,
…
,
p
K
j
(
A
K
)
]
,
L
j
′
=
[
p
′
1
j
(
A
1
)
,
…
,
p
′
K
j
(
A
K
)
]
{\displaystyle L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,p_{K}^{j}(A_{K})]\quad ,\quad L'_{j}=[{p'}_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,{p'}_{K}^{j}(A_{K})]}
לכל
k
∈
{
1
,
…
,
K
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,K\}}
r
k
=
∑
j
=
1
J
q
j
p
k
j
,
r
k
′
=
∑
j
=
1
J
′
q
j
′
p
′
k
j
{\displaystyle r_{k}=\sum \limits _{j=1}^{J}{q_{j}p_{k}^{j}}\quad ,\quad r'_{k}=\sum \limits _{j=1}^{J'}{q'_{j}{p'}_{k}^{j}}}
אלו ההסתברויות לקבלת התוצאה
A
k
{\displaystyle \,A_{k}}
L
^
{\displaystyle {\hat {L}}}
L
^
′
{\displaystyle {\hat {L}}'}
u
i
(
L
^
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
θ
i
k
,
u
i
(
L
^
′
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
′
θ
i
k
{\displaystyle u_{i}({\hat {L}})=\sum \limits _{k=1}^{K}{r_{k}\theta _{i}^{k}}\quad ,\quad u_{i}({\hat {L}}')=\sum \limits _{k=1}^{K}{r'_{k}\theta _{i}^{k}}}
לכן,
u
i
(
L
^
)
≥
u
i
(
L
^
′
)
⟺
∑
k
=
1
K
r
k
θ
i
k
≥
∑
k
=
1
K
r
k
′
θ
i
k
{\displaystyle u_{i}({\hat {L}})\geq u_{i}({\hat {L}}')\quad \iff \quad \sum \limits _{k=1}^{K}{r_{k}\theta _{i}^{k}}\geq \sum \limits _{k=1}^{K}{r'_{k}\theta _{i}^{k}}}
מצד שני, מאקסיומת הפישוט,
L
^
≈
i
[
r
1
(
A
1
)
,
r
2
(
A
2
)
,
…
,
r
K
(
A
K
)
]
,
L
^
′
≈
i
[
r
1
′
(
A
1
)
,
r
2
(
A
2
)
,
…
,
r
K
′
(
A
K
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}\approx _{i}[r_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),\ldots ,r_{K}(A_{K})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),\ldots ,r'_{K}(A_{K})]}
נסמן
L
k
=
[
θ
i
k
(
A
K
)
,
(
1
−
θ
i
k
)
(
A
1
)
]
{\displaystyle L_{k}=[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]}
θ
i
k
{\displaystyle \theta _{i}^{k}}
A
k
≈
i
L
k
{\displaystyle A_{k}\approx _{i}L_{k}}
k
∈
{
1
,
…
,
K
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,K\}}
K
{\displaystyle \,K}
L
^
{\displaystyle {\hat {L}}}
L
^
′
{\displaystyle {\hat {L}}'}
L
^
≈
i
[
r
1
(
L
1
)
,
r
2
(
L
2
)
,
…
,
r
K
(
L
K
)
]
,
L
^
′
≈
i
[
r
1
′
(
L
1
)
,
r
2
′
(
L
2
)
,
…
,
r
K
′
(
L
K
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}\approx _{i}[r_{1}(L_{1}),r_{2}(L_{2}),\ldots ,r_{K}(L_{K})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'_{1}(L_{1}),r'_{2}(L_{2}),\ldots ,r'_{K}(L_{K})]}
כיוון שכל ההגרלות
L
k
{\displaystyle \,L_{k}}
A
1
,
A
K
{\displaystyle \,A_{1},A_{K}}
r
{\displaystyle \,r}
r
′
{\displaystyle \,r'}
A
K
{\displaystyle \,A_{K}}
L
^
{\displaystyle {\hat {L}}}
L
^
′
{\displaystyle {\hat {L}}'}
r
=
∑
k
=
1
K
r
k
θ
i
k
,
r
′
=
∑
k
=
1
K
r
k
′
θ
i
k
{\displaystyle r=\sum \limits _{k=1}^{K}{r_{k}\theta _{i}^{k}}\quad ,\quad r'=\sum \limits _{k=1}^{K}{r'_{k}\theta _{i}^{k}}}
ומאקסיומת הפישוט, נובע:
L
^
≈
i
[
r
(
A
K
)
,
(
1
−
r
)
(
A
1
)
]
,
L
^
′
≈
i
[
r
′
(
A
K
)
,
(
1
−
r
′
)
(
A
1
)
]
{\displaystyle {\hat {L}}\approx _{i}[r(A_{K}),(1-r)(A_{1})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'(A_{K}),(1-r')(A_{1})]}
מאקסיומת המונוטוניות,
L
^
≿
i
L
^
′
⟺
r
≥
r
′
{\displaystyle {\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad r\geq r'}
לכן, בסה"כ,
L
^
≿
i
L
^
′
⟺
u
i
(
L
^
)
≥
u
i
(
L
^
′
)
{\displaystyle {\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad u_{i}({\hat {L}})\geq u_{i}({\hat {L}}')}
כנדרש.
![{\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5332157a0da51977e37dc34d75c1c39bd1d241a2)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(O)=\{[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})]:{\vec {p}}\in \Delta ^{K}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ea77807eaa2ff9ebc77f4aadd7ef4adeb7d4d4)
![{\displaystyle \Delta ^{K}=\{{\vec {p}}\in [0,1]^{K}:\sum \nolimits _{k=1}^{K}{p_{k}}=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9cba466043ed4df02fdaed32d33c3244f26418e)
![{\displaystyle {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4040cebcfa78cd27383ef27b9a63c4d834aeaf5)
![{\displaystyle {\hat {\mathcal {L}}}(O)=\{[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]:J\in \mathbb {N} ,\ L_{j}\in {\mathcal {L}}(O),\ {\vec {q}}\in \Delta ^{J}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8fb87359997c4f8f4eae75e92c867cf8186b5f)
![{\displaystyle {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb1a65a9b5b6944390760c2bb83200037e1b27d)
![{\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),p_{2}(A_{2}),\cdots ,p_{n}(A_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8839c926cd1e41ad99d74eed33c9163ab46261)
![{\displaystyle {\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_{j}(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_{J}(L_{J})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d442f52096907e538c06fa5ca1b9f1f097cd0d81)
![{\displaystyle B\approx _{i}[\theta _{i}(A),(1-\theta _{i})C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d82d59f27eb7e9a6cec34ef9c2dd9eaa3b87de4)
![{\displaystyle [\alpha (A),(1-\alpha )(B)]\succeq _{i}[\beta (A),(1-\beta )(B)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44c9734e500845910aab3c115dc88dcf95c4df5)
![{\displaystyle L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),p_{2}^{j}(A_{2}),...,p_{K}^{j}(A_{K})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4913efbe1e823d200346e2ded18d4c8083a2a8)
![{\displaystyle {\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{j}(L_{j})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4725cbb0a41a2b49431a9999f6000206b6ca1bb9)
![{\displaystyle r_{k}=[(q_{1})p_{k}^{1}+(q_{2})p_{k}^{2}+...+(q_{j})p_{k}^{J}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafad5932193f922a0aa81ba729be4e4bc392661)
![{\displaystyle L=[r_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),...,r_{K}(A_{K})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1add822f36c4eff50981059f85a9f6148b1cc3f3)
![{\displaystyle {\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{J}(L_{J})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a98575faf8cdd142724b488526bfe2646b0c9)
![{\displaystyle {\overline {L}}\approx _{i}[q_{1}(L_{1}),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_{j}(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_{J}(L_{J})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5e19079ca7e74f96ce082a046ad37fead79006)
![{\displaystyle \theta _{i}^{k}\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e135239dff4ff0bfc2e624001743ada8d83a3b94)
![{\displaystyle A_{k}\approx _{i}[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707e48c9f06edd440ed11542d709e9bbc6299555)
![{\displaystyle \varphi _{i}^{k}\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacbc4dc46dc4a20f6fef1daf74c2e0c76a6a5e1)
![{\displaystyle A_{k}\approx _{i}[\varphi _{i}^{k}(A_{K}),(1-\varphi _{i}^{k})(A_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b793b193f2a7bbf6fa879e42319019057a2b99d0)
![{\displaystyle A_{k}\approx _{i}[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba97f090cd1c16ea14e0f286a1ce76a68a3d1c49)
![{\displaystyle L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,p_{K}^{j}(A_{K})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b90edbc75bb0b5748ae6685a4a3bbbffbcd298)
![{\displaystyle \,L=[1(A_{k})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4a1c283e482a2cbc766ff699629264dd3571a7)
![{\displaystyle {\hat {L}}=[1(L)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012dc0c67a82ee5b240ffb149adad8e55a16d9b5)
![{\displaystyle {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]\quad ,\quad {\hat {L}}'=[q'_{1}(L'_{1}),\ldots ,q'_{J'}(L'_{J'})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939cc816c10d98f8397415ee7a8ab6f96a0a3bca)
![{\displaystyle L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,p_{K}^{j}(A_{K})]\quad ,\quad L'_{j}=[{p'}_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,{p'}_{K}^{j}(A_{K})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1763b1c099ecdd8a2195278221dff95780c231)
![{\displaystyle {\hat {L}}\approx _{i}[r_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),\ldots ,r_{K}(A_{K})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),\ldots ,r'_{K}(A_{K})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e42656b25b8361200b8e9122ffdea883cbd153f)
![{\displaystyle L_{k}=[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57196c47287c696d33edd5590b1d08a902dcc7f)
![{\displaystyle {\hat {L}}\approx _{i}[r_{1}(L_{1}),r_{2}(L_{2}),\ldots ,r_{K}(L_{K})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'_{1}(L_{1}),r'_{2}(L_{2}),\ldots ,r'_{K}(L_{K})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f6aa532288f3ec31beee0c8412f76fb6a5fa07)
![{\displaystyle {\hat {L}}\approx _{i}[r(A_{K}),(1-r)(A_{1})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'(A_{K}),(1-r')(A_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30946825b3f3ab0d92113f5876e24a8e508a57a0)
