תורת שטורם-ליוביל

במתמטיקה, תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מסוימות ומציאת התנאים שבהם יש להן פתרון ששונה מהפתרון הטריוואלי, $y\equiv 0$ . לתורה שימושים רבים במתמטיקה שימושית ובתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות. תורת שטורם-ליוביל קרויה על שם המתמטיקאים הצרפתיים שארל שטורם (Charles Sturm) וז'וזף ליוביל.

תיאור

תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מהצורה:

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(p(x){\mathrm {d} y \over \mathrm {d} x}\right)+q(x)y=\lambda w(x)y$

כאשר $\ \lambda$ הוא פרמטר, המהווה ערך עצמי של אופרטור גזירה הרמיטי מעל מרחב הילברט שמוגדר על ידי תנאי הקצה, וכל פתרון למשוואה הוא פונקציה עצמית. תנאי ההרמיטיות מבטיח שהערכים העצמיים הם ממשיים.

במקרה שהמשוואה מוגדרת בקטע ממשי סגור $[a,b]$ ותנאי השפה הוא מהצורה $c_{1}y'(a)=c_{2}y(a)$ וכן $c_{3}y'(b)=c_{4}y(b)$ (כאשר אולי $c_{i}=0$ ), מובטח קיום סדרה של ערכים עצמיים שלכל אחד מהם פונקציה עצמית מתאימה יחידה, וכן אוסף פונקציות זה מהווה בסיס אורתוגונלי למרחב כל הפונקציות הרציפות על $[a,b]$ .

דוגמאות ושימושים

משוואת החום

משוואת החום (נקראת גם משוואת הדיפוזיה) היא משוואה הבאה מעולם התרמודינמיקה ועוסקת במעבר חום דרך הולכה או פעפוע. המשוואה נתונה על ידי:

{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}

או בכתיב מקוצר:

\partial _{x}^{2}\Psi (x,t)=\partial _{t}\Psi (x,t)

נפתור אותה עם תנאי התחלה:

\Psi (x,0)=\Psi _{0}(x)

ותנאי השפה:

\Psi (0,t)=\Psi (\pi ,t)=0

נבצע הפרדת משתנים $\Psi (x,t)=R(x)\cdot T(t)$ ולאחר העברת אגפים נקבל:

R''(x)/R(x)=T'(t)/T(t)

מאחר שאגף ימין תלוי רק ב- $t$ ושווה לאגף שמאל שתלוי רק ב- $x$ נובע שכל אגף שווה לקבוע (באופן כללי הקבוע יכול להיות שלילי, חיובי או אפס, אבל רק קבוע שלילי יתן דעיכה של הטמפרטורה בזמן, ולכן משיקולים פיזיקליים נכון לבחור בו), כלומר:

T'(t)=-\omega T(t),\quad R''(x)=-\omega R(x)

לכן, קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות לכל קבוע הפרדה $-\omega$ ובסה"כ מערכת של אינסוף משוואות. נפתור כל משוואה דיפרנציאלית לחוד ונקבל:

T(t)=T_{0}\exp(-\omega t)

R(x)=A\sin({\sqrt {\omega }}x)+B\cos({\sqrt {\omega }}x)

.

אם נציב את תנאי השפה נקבל שהפתרון עבור $x$ יהיה מהצורה:

R_{n}(x)=A_{n}\sin(nx)

לכל

1\leq n\in \mathbb {N}

לכן, יש לנו רק מספר בן מנייה של קבועי הפרדה, והם נתונים על ידי:

\omega _{n}=n^{2},\quad n=1,2,3,\cdots

.

לכן, קיבלנו סדרה של פתרונות מהצורה:

\Psi _{n}(x,t)=A_{n}\sin(nx)\exp(-n^{2}t)

זהו בעצם בסיס טופולוגי למרחב הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית החלקית.

ואכן, מכיוון שהמשוואה הדיפרנציאלית החלקית המקורית היא ליניארית, כל צירוף ליניארי של פתרונות הוא גם פתרון. הפתרון הכללי הוא:

\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{A_{n}\sin(nx)\exp(-n^{2}t)}=\sum _{n=1}^{\infty }{A_{n}e^{-n^{2}t}\sin(nx)}

את הקבועים $A_{n}$ נמצא באמצעות תנאי ההתחלה ושיקולים של אורתוגונליות. מציבים $t=0$ ואז מקבלים טור פורייה, שהוא פיתוח בבסיס ההרמוני (בסיס של סינוסים וקוסינוסים) בקטע $[-\pi ,\pi ]$ . מאחר שבידינו יש רק סינוסים בטור, נוכל לעשות המשכה אי-זוגית של הפתרון ותנאי ההתחלה ולמצוא את המקדמים $A_{n}$ כמקדמי הפיתוח של טור פורייה של תנאי ההתחלה.