במתמטיקה , ישנם מספר אינטגרלים הנקראים אינטגרל דיריכלה , על שם המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה , ואחד מהם הוא האינטגרל הלא אמיתי של פונקציית sinc על הישר הממשי החיובי:
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
=
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}
האינטגרל הזה אינו מתכנס בהחלט , מה שאומר ש-
|
sin
x
x
|
{\displaystyle {\Biggl |}{\frac {\sin x}{x}}{\Biggl |}}
אינה אינטגרבילית לפי לבג, כך שאינטגרל דיריכלה אינו מוגדר במובן של אינטגרציית לבג . עם זאת, הוא יכול להיות מוגדר כאינטגרל רימן לא אמיתי. אף על פי שהפונקציה הקדומה של פונקציית ה-sinc אינה פונקציה אלמנטרית , ערך האינטגרל (במובן של רימן) יכול להיות מחושב במגוון דרכים, ביניהן שימוש בהתמרת לפלס , גזירה תחת סימן האינטגרל, ואנליזה מרוכבת .
אינטגרל דיריכלה חושב לראשונה לראשונה על ידי לאונרד אוילר [1] במאמר שעסק בחישוב ערכים של אינטגרלים לא אמיתיים מסוימים. הוא מופיע במגוון תחומים, במיוחד בתורה של טורי פורייה , במסגרתה הוא הופיע בהוכחה של דיריכלה (1829) להתכנסות נקודתית של טורי פורייה. מאוחר יותר דיריכלה עשה בו שימוש גם בהצדקה למשפט הגבול המרכזי שתיאר בהרצאותיו מ-1846.
חישוב האינטגרל
עריכה
גזירה תחת סימן האינטגרל (טריק פיינמן )
עריכה
תחילה נרשום את האינטגרל כפונקציה של משתנה נוסף
s
{\displaystyle s}
, פונקציה שהיא למעשה התמרת לפלס של
sin
t
t
{\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}
. הפונקציה המתקבלת היא
f
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
t
sin
t
t
d
t
.
{\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.}
כדי לחשב את אינטגרל דיריכלה, יש בעצם לקבוע את הערך של
f
(
0
)
{\displaystyle f(0)}
. הרציפות של
f
{\displaystyle f}
ניתנת להצדקה בעזרת משפט ההתכנסות הנשלטת לאחר אינטגרציה בחלקים. גזירה לפי המשתנה הנוסף
s
>
0
{\displaystyle s>0}
והפעלת כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (שיטת פיינמן) מניבה:
d
f
d
s
=
d
d
s
∫
0
∞
e
−
s
t
sin
t
t
d
t
=
∫
0
∞
∂
∂
s
e
−
s
t
sin
t
t
d
t
=
−
∫
0
∞
e
−
s
t
sin
t
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{ds}}&={\frac {d}{ds}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial s}}e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt.\end{aligned}}}
כעת, בעזרת נוסחת אוילר
e
i
t
=
cos
t
+
i
sin
t
,
{\displaystyle e^{it}=\cos t+i\sin t,}
ניתן לרשום את פונקציית הסינוס כסכום של שני אקספוננטים מרוכבים,
sin
t
=
1
2
i
(
e
i
t
−
e
−
i
t
)
.
{\displaystyle \sin t={\frac {1}{2i}}\left(e^{it}-e^{-it}\right).}
לפיכך,
d
f
d
s
=
−
∫
0
∞
e
−
s
t
sin
t
d
t
=
−
∫
0
∞
e
−
s
t
e
i
t
−
e
−
i
t
2
i
d
t
=
−
1
2
i
∫
0
∞
[
e
−
t
(
s
−
i
)
−
e
−
t
(
s
+
i
)
]
d
t
=
−
1
2
i
[
−
1
s
−
i
e
−
t
(
s
−
i
)
−
−
1
s
+
i
e
−
t
(
s
+
i
)
]
0
∞
=
−
1
2
i
[
0
−
(
−
1
s
−
i
+
1
s
+
i
)
]
=
−
1
2
i
(
1
s
−
i
−
1
s
+
i
)
=
−
1
2
i
(
s
+
i
−
(
s
−
i
)
s
2
+
1
)
=
−
1
s
2
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{ds}}&=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {e^{it}-e^{-it}}{2i}}dt\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{-t(s-i)}-e^{-t(s+i)}\right]dt\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[{\frac {-1}{s-i}}e^{-t(s-i)}-{\frac {-1}{s+i}}e^{-t(s+i)}\right]_{0}^{\infty }\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[0-\left({\frac {-1}{s-i}}+{\frac {1}{s+i}}\right)\right]=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {1}{s-i}}-{\frac {1}{s+i}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {s+i-(s-i)}{s^{2}+1}}\right)=-{\frac {1}{s^{2}+1}}.\end{aligned}}}
האינטגרל המקורי (אינטגרל דיריכלה) ניתן לחישוב כעת בעזרת אינטגרציה של הביטוי האחרון ביחס למשתנה
s
{\displaystyle s}
בתוספת קבוע אינטגרציה שיש לקבוע אותו. לפיכך, אינטגרציה לפי
s
{\displaystyle s}
נותנת:
f
(
s
)
=
∫
−
d
s
s
2
+
1
=
A
−
arctan
s
,
{\displaystyle f(s)=\int {\frac {-ds}{s^{2}+1}}=A-\arctan s,}
כאשר
A
{\displaystyle A}
הוא קבוע האינטגרציה שיש לקבוע. מכיוון ש-
lim
s
→
∞
f
(
s
)
=
0
{\displaystyle \lim _{s\to \infty }f(s)=0}
מקבלים שערך הקבוע הוא
A
=
lim
s
→
∞
arctan
s
=
π
2
{\displaystyle A=\lim _{s\to \infty }\arctan s={\frac {\pi }{2}}}
. זה אומר שבעבור
s
>
0
{\displaystyle s>0}
מתקיים
f
(
s
)
=
π
2
−
arctan
s
{\displaystyle f(s)={\frac {\pi }{2}}-\arctan s}
.
ולבסוף, מרציפות
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)}
ב-
s
=
0
{\displaystyle s=0}
, נקבל:
f
(
0
)
=
π
2
−
arctan
(
0
)
=
π
2
{\displaystyle f(0)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(0)={\frac {\pi }{2}}}
קישורים חיצוניים
עריכה
הערות שוליים
עריכה
^ L.Euler, De valoribus integralium a termino variabilis x=0
usque ad x=∞
extensorum (1781)