בחשבון אינפיניטסימלי , אינטגרל לא אמיתי או אינטגרל מוכלל מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באופן אינטואיטיבי, ברור ששטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, האינטגרל מתכנס. אחרת, האינטגרל מתבדר.
אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית אינטגרל מוכלל של פונקציה לא חסומה כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.
אינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות לא חסומות
עריכה
ניסוח פורמלי
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
lim
t
→
b
−
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
f
{\displaystyle f\,}
אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
מתכנס . אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר .
דוגמה: חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי
∫
0
1
d
x
x
t
{\displaystyle \int _{0}^{1}{{\,\mathrm {d} x} \over {x^{t}}}}
t
<
1
{\displaystyle t<1\,}
אינטגרביליות בהחלט
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
מתכנס בהחלט . קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית. (במובן המוכלל).
הרחבת ההגדרה
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
b
>
d
>
a
{\displaystyle b>d>a\,}
∫
a
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{d}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
d
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{d}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.
מבחני התכנסות
עריכה
תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה :
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
w
>
v
{\displaystyle w>v\,}
(
b
−
δ
,
b
)
{\displaystyle (b-\delta ,b)\,}
|
∫
v
w
f
(
x
)
d
x
|
<
ε
{\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon }
מבחן ההשוואה
עריכה
מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
b
{\displaystyle b\,}
0
≤
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}
אם
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
אם
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
קיימות הכללות למשפט זה עבור
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
(
−
∞
,
b
]
{\displaystyle (-\infty ,b]\,}
מבחן ההשוואה הגבולי
עריכה
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
lim
x
→
b
−
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
אם
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
אם
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים אינסופיים
עריכה
ניסוח פורמלי
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
t
→
∞
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\,}
מתכנס . אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר .
דוגמה:
האינטגרל
∫
0
∞
d
x
1
+
x
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}}
lim
t
→
∞
∫
0
t
d
x
1
+
x
2
=
lim
t
→
∞
arctan
t
=
π
2
,
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=\lim _{t\to \infty }\arctan {t}={\frac {\pi }{2}},}
אינטגרביליות בהחלט
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
∞
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
מתכנס בהחלט . גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).
הרחבת ההגדרה
עריכה
תהי
f
{\displaystyle f\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
a
{\displaystyle a}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
−
∞
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
מבחני התכנסות
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
M
>
a
{\displaystyle \ M>a\,}
w
>
v
>
M
{\displaystyle w>v>M\,}
|
∫
v
w
f
(
x
)
d
x
|
<
ε
{\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon }
מבחן ההשוואה
עריכה
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
b
∈
[
a
,
∞
)
{\displaystyle b\in [a,\infty )}
x
>
b
{\displaystyle x>b}
0
≤
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
אם
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
מבחן ההשוואה הגבולי
עריכה
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
מבחן דיריכלה
עריכה
מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן , ובזה כוחו.
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
פונקציות בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
מונוטונית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}
g
{\displaystyle g\,}
אינטגרבילית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
הפונקציה
G
(
x
)
=
∫
a
x
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle \textstyle G(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
בתנאים אלו האינטגרל
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}
מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דיריכלה.
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
פונקציות בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
מונוטונית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}
L
{\displaystyle L}
g
{\displaystyle g\,}
אינטגרבילית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
∫
a
∞
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(t)\,\mathrm {d} t}
בתנאים אלו האינטגרל
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}
הוכחה למבחן אבל
עריכה
על פי הנתונים נקבל כי:
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
∫
a
∞
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
L
+
L
)
d
x
=
∫
a
∞
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
L
)
d
x
+
L
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L+L)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x+L\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
כעת כפי שניתן לראות,
∫
a
∞
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
L
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x}
L
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle L\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
קישורים חיצוניים
עריכה
![{\displaystyle (a,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6233d4b1bbd83be4a31381ab72411a5c0659d45)
![{\displaystyle (-\infty ,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeea7c42b58347b5553a668e5003c8b3e711a8c6)
