אלגברה ספרבילית

בתורת החוגים, אלגברה ספרבילית היא אלגברה מעל חוג קומוטטיבי, הפועלת על עצמה באופן מסוים (שיוגדר בגוף הערך). זוהי הכללה של מושג הספרביליות של הרחבת שדות: הרחבת שדות מממד סופי K/F היא ספרבילית, אם ורק אם K אלגברה ספרבילית מעל F.

יהי C חוג קומוטטיבי, ותהי R אלגברה מעל C (כלומר, חוג המכיל את C במרכז שלו). מגדירים $\ R^{e}=R\otimes _{C}R^{\operatorname {op} }$, המכפלה הטנזורית מעל C, כאשר $\,R^{\operatorname {op} }$ היא האלגברה המנוגדת. מודולים מעל $\,R^{e}$ אינם אלא בי-מודולים מעל R שבהם שתי הדרכים לצמצם למודול מעל C מתלכדות. בפרט, האלגברה $\ R^{e}$ פועלת על $R$ על ידי $\,(a\otimes b)x=axb$, באופן ההופך את $R$ למודול מעל $\,R^{e}$.

האלגברה R היא ספרבילית, אם R הוא מודול פרויקטיבי מעל $\,R^{e}$. להלן כמה הגדרות שקולות לספרביליות של R מעל C:

1. הסדרה המדויקת $0\longrightarrow J\longrightarrow R^{e}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}R\longrightarrow 0$ מתפצלת, כאשר $\mu (a\otimes b^{\operatorname {op} })=ab$.
2. יש איבר $\ e\in A^{e}$ המקיים $\ \mu (e)=1$ ו-$Je=0$, כאשר $J=\operatorname {Ker} (\mu )$ (איבר זה הוא בהכרח אידמפוטנט, ואז הוא יחיד).
3. הפונקטור $\ M\mapsto M^{R}$, מהקטגוריה $\ R^{e}-\operatorname {mod}$ אל $\ C-\operatorname {mod}$, הוא מדויק מימין (כאן $\ M^{R}=\{x\in M|\forall a\in R:ax=xa\}$).
4. לכל בי-מודול M מעל R, כל נגזרת פורמלית של R (מעל C) עם ערכים ב-M (היינו, פונקציה אדיטיבית $\ d:R\rightarrow M$, הומוגנית מעל C, המקיימת $\ d(ab)=ad(b)+d(a)b$) היא פנימית: קיים $\ x\in M$ כך ש-$\ d(a)=ax-xa$.
5. הממד הקוהומולוגי (ביחס לקהומולוגיית Hochschild) של R מעל C הוא אפס, כלומר, $H^{1}(R,M)=0$ לכל R-בימודול M.

לדוגמה, אלגברת המטריצות $\ \operatorname {M} _{n}(C)$ ספרבילית מעל C (ובפרט C ספרבילית מעל עצמה). החוג $\ C\oplus Cx$ עם כפל המוגדר לפי $\ x^{2}=\theta \in C$ הוא ספרבילי מעל C אם ורק אם $\ 2,\theta$ הפיכים ב-C. אלגברת חבורה של חבורה סופית מעל שדה שהיא פשוטה למחצה, היא ספרבילית.

אם אלגברה R היא ספרבילית מעל החוג C ופרויקטיבית כמודול מעליו, אז R נוצרת סופית כמודול. את הקשר בין אידיאלים של אלגברה ספרבילית לאידיאלים מעל המרכז שלה מספקת העובדה השימושית הבאה: לכל אידיאל I של המרכז $\ Z(R)$, מתקיים $\ I=Z(R)\cap IR$.

ספרביליות והמכפלה הטנזורית

ספרביליות נשמרת תחת פעולות טבעיות רבות. אם $\ R_{1},R_{2}$ ספרביליות מעל C, אז גם המכפלה הישרה $\ R_{1}\times R_{2}$ ספרבילית. אם $\ R_{1},R_{2}$ ספרביליות מעל $\ C_{1},C_{2}$ בהתאמה, כאשר $\ C_{1},C_{2}$ הן אלגברות קומוטטיביות מעל C, אז $\ R_{1}\otimes _{C}R_{2}$ ספרבילית מעל $\ C_{1}\otimes C_{2}$, ובמקרה זה $\ Z(R_{1}\otimes R_{2})=Z(R_{1})\otimes Z(R_{2})$. בפרט, המכפלה הטנזורית של אלגברות ספרביליות היא ספרבילית. ספרביליות נשמרת תחת הרחבת סקלרים: אם R ספרבילית מעל C, אז לכל C-אלגברה $\ C'$, המכפלה הטנזורית $\ C'\otimes _{C}R$ היא ספרבילית מעל $\ C'$. כל מנה של אלגברה ספרבילית (שהיא אלגברה מעל C) היא ספרבילית.

קל יותר להיות ספרבילי ככל שחוג הבסיס גדול יותר: אם R אלגברה מעל $\ C'$ המכילה תת-חוג C, והיא ספרבילית מעל C, אז היא ספרבילית גם מעל $\ C'$. מאידך, אם במקרה זה $\ C'$ עצמה ספרבילית מעל C, אז גם ההפך נכון: אם R ספרבילית מעל $\ C'$, אז היא ספרבילית גם מעל C (הספרביליות של 'C מעל C מבטיחה גם שאם R פרויקטיבית מעל 'C אז היא פרויקטיבית גם מעל C). עם זאת, לא כל תת-אלגברה של אלגברה ספרבילית היא ספרבילית (לדוגמה, אלגברת המטריצות מעל שדה F מכילה הרחבות לא-ספרביליות של F).

במקרים מסוימים אפשר 'לקלף' ספרביליות: אם המכפלה הטנזורית $\ R\otimes _{C}R'$ ספרבילית מעל C ואחד הגורמים הוא פרויקטיבי בנאמנות (כלומר, פרויקטיבי, ולכל אידיאל I של C, הכפל ב-I מחזיר תת-מודול אמיתי), אז הגורם השני ספרבילי. אם $\ R\otimes C'$ ספרבילי מכל $\ C'$ כאשר $\ C'$ פרויקטיבית בנאמנות מעל C, אז R ספרבילי מעל C. אם R ספרבילי מעל C ופרויקטיבי בנאמנות מעל C-אלגברה קומוטטיבית $\ C'$, אז $\ C'$ ספרבילית מעל C.

ספרביליות מעל שדה

אלגברה A היא ספרבילית מעל שדה F אם ורק אם A פשוטה למחצה וסוף-ממדית, כלומר, סכום ישר של מספר סופי של אלגברות פשוטות מממד סופי, והמרכז של כל מרכיב פשוט הוא הרחבה ספרבילית מממד סופי של F. אם A ספרבילית מעל F, אז $\ K\otimes _{F}A$ ספרבילית מעל K לכל הרחבת שדות K/F. תכונות אלה נכונות לא רק במקרה האסוציאטיבי, אלא גם עבור אלגברות אלטרנטיביות.

בפרט, אלגברה קומוטטיבית (ואסוציאטיבית) היא ספרבילית מעל שדה אם ורק אם היא סכום ישר של הרחבות ספרביליות של שדות. כך מתלכדות באלגברה ספרבילית שתי תכונות: אחת אריתמטית - הספרביליות של איברים, ואחת מבנית - התנאי שהאלגברה תישאר פשוטה למחצה לאחר הרחבת סקלרים. הקשר בין שני התנאים נובע מכך שאם K/F הרחבה לא ספרבילית, אז ב-$\ K\otimes _{F}K$ יש איברים נילפוטנטיים. כל אלגברה ספרבילית היא חופשית למחצה במובן של Cuntz ו-Quillen.

מקורות

• Demeyer and Ingraham, Separable Algebras over Commutative Rings, LNM 181, 1970.