פתיחת התפריט הראשי

אריתמטיקה אוניברסלית

ספר מאת אייזק ניוטון
עמוד השער של הספר

אריתמטיקה אוניברסליתלטינית: Arithmetica Universalis) הוא ספרו המתמטי של אייזק ניוטון שפורסם ב-1707. כשהוא נכתב במקור בלטינית, הוא נערך ופורסם על ידי ויליאם וויסטון, מחליפו של ניוטון באוניברסיטת קיימברידג'. הספר היה מבוסס על סיכומי הרצאות באלגברה שניתנו על ידי ניוטון בעשורים הקודמים.

המהדורה המקורית של וויסטון נתפרסמה ב-1707. היא תורגמה לאנגלית על ידי ג'וזף רפסון, אשר פרסם אותה ב-1720 תחת השם Universal Arithmetick. ג'ון משין פרסם מהדורה לטינית שנייה לספר ב-1722.

השם שבחר ניוטון לספר מעיד על התפקיד ההיסטורי שיעד לו ניוטון; במאה ה-17 החלה מגמה של התנתקות מהניסוח הגאומטרי שרווח כניסוח המתמטי המקובל (מגמה שהחלה בהצגת הגאומטריה האנליטית על ידי רנה דקארט) ומעבר לצורת חשיבה אלגברית - סימבולית יותר. ניוטון ביקש להמשיך את הניסוח המתמטי ברוח זו, ולהדגים כיצד ניתן להשתמש באמצעי הביטוי האלגבריים לפתרון בעיות באופן יעיל יותר ואולי אינטואיטיבי יותר. אין פירוש הדבר שניוטון זנח את הניסוח הגאומטרי הסינתטי, גם כי היה הניסוח המקובל ללא עוררין על כל הקהילה האקדמית. מניסיונו מצא ניוטון את המחשבה האלגברית כאמצעי הנוח והכללי (מכאן מגיע התואר "אוניברסלי" בשם הספר) יותר לגשת לבעיות.

הספר עוסק בסימון אלגברי, באריתמטיקה, באינטראקציה בין גאומטריה ואלגברה (כמו הביטויים הגאומטריים למשוואות כישרים, עקומים, אורכים, שטחים ונפחים ולחלופין ניסוח תכונות הנובעות ישירות ממאפייני המצולעים המשוכללים, המעגל וחתכי החרוט), ובפתרון משוואות פולינומיות, המהווה אחד הנושאים המרכזיים הנידונים בספר, ובחקירתו מביא ניוטון תוצאות רבות, בפרט בתחום שלימים יהפוך מרכזי במתמטיקה ובפיזיקה, פולינומים סימטריים, ומוסיף לציין ממצאים רבים הקשורים בסכומי חזקות של שורשי (פתרונות) המשוואה (כולל ההצגה של "זהויות ניוטון", שיוכחו מאוחר יותר, באופן עצמאי, על ידי לאונרד אוילר במאה ה-18). בין היתר רומז לטענה הידועה כ"משפט היסודי של פולינומים סימטריים". כמו כן מיישם בספר את כלל הסימנים של דקארט לשורשים מדומים, ואף הציע, מבלי להוכיח, את הכלל המאפשר לקבוע את מספר השורשים (פתרונות) המדומים של פולינום. רק כעבור 150 שנה נמצאה הוכחה ריגורוזית לנוסחת המנייה של ניוטון, על ידי ג'יימס ג'וזף סילבסטר, ב-1865. פרט לתוצאות המשמעותיות המובאות בספר, קובצו בו גם מספר כללי אצבע פשוטים המסייעים להשיג מידע על ערך הפתרונות של פולינום שלא נמצא לו פתרון בעזרת רדיקלים, למשל התוצאה על החסם העליון של הערך המוחלט הגדול ביותר (המקסימלי) של שורש הפולינום בתלות במקדמיו.

הקישור שעושה הספר בין סימטריוּת, כלומר פולינומים סימטריים, לפתרון פולינומים ממעלה גבוהה, מעיד על ההבנה של ניוטון את אופי הבעיה של מציאת פתרונות (שורשי) משוואות פולינומיות, וניתן לראות בספר תרומה חשובה לאלגברה של משוואות (ובתורה לאלגברה המופשטת). גם בגלל תפוצתו, לספר הייתה השפעה על התפתחות האלגברה במאה ה-18, כולל על עבודתו של ז'וזף לואי לגראנז' על משוואות, שלימים שימשה אותו בניסוח המקובל למכניקה של ניוטון עצמו, ב"מכניקה האנליטית", וביסוד שהניח לגראנגז' לתורת החבורות.