אריתמטיקה

אָריתמֶטיקה (מהמילה היוונית αριθμός, אריתמוֹס, שפירושה מספר), הידועה גם בשם חשבון, היא הענף העתיק והבסיסי ביותר במתמטיקה. זהו החלק היסודי בלימוד המתמטיקה, הוא משתלב ביתר ענפי המתמטיקה וחיוני להבנתם. עקרונות האריתמטיקה הבסיסיים, המבוססים על ארבע פעולות החשבון וסדר בין מספרים, משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון כלכלת הבית. לאריתמטיקה המתקדמת ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מורכבות יותר, יש שימוש רב בתחומי המדע, ההנדסה והטכנולוגיה השונים.

האריתמטיקה והרטוריקה – שתיים מבין שבע האמנויות החופשיות. פסלם של ניקולא פיזאנו וג'ובאני פיזאנו, פונטנה מאג'ורה, פרוג'ה.

גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים. במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק במספרים שלמים ובתכונותיהם, כמו ראשוניות וכדומה. מתמטיקאים משתמשים לעיתים במונח 'אריתמטיקה' כתחליף לתורת המספרים, גם במובנה הרחב.

היסטוריה

ערך מורחב – היסטוריה של האריתמטיקה
על פי יוסף בן מתיתיהו בקדמוניות היהודים אברהם אבינו הו הממציא את האריתמטיקה ולימד את המצרים כשירד למצרים.

עצם אישנגו – ממצא המתוארך לתקופה שלפני 20–22 אלף שנה, ומעיד על רמתו המתמטית של האדם בתקופה זו.

הספרות הבבליות – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים.

כריכת ספרו של דיופנטוס "אריתמטיקה" משנת 1621 בתרגום ללטינית.

כבר בתקופה הפרהיסטורית, בני האדם החלו להבין את רעיונות המספר והחישוב, כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים. האדם החל לפתח במוחו דרכים לחישוב יעיל ופשוט והשתמש באצבעותיו כדי לייצג עצמים ולספור אותם. בתקופה זו חלה נקודת מפנה חשובה, כאשר האדם תפס לראשונה את החישובים שלו כ"מקרים פרטיים" – חלק מאוסף כללים אוניברסליים, שחלים על כל פעולה אריתמטית שיבצע, בכל צורה. בכך החל האדם לתפוס כיצד לחשב בצורה יעילה יותר (נראה שהבנה זו התקבלה רק כאשר העביר האדם את חישוביו אל אמצעי עזר, כגון ספירת עצמים מוחשיים וכתב). מאז, התפתחה האריתמטיקה ועברה שכלולים רבים עד לגלגולה המודרני.

המצרים הקדומים היו הראשונים שביצעו פעולות מורכבות בתחום האריתמטיקה. כבר בראשית האלף ה-3 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא נכתבת בצורה חיבורית, שבה סדר הגורמים איננו משנה את המספר. הספרות המצריות שילבו כתב יתדות עבור הספרות 1–9 והשתמשו בציורי הירוגליפים עבור שאר הגדלים בהם השתמשו. אחר כך עברו המצרים לשיטה יעילה יותר, שצמצמה את מספר הספרות שאותו היו צריכים לחרוט, אך חסרונה היה מספר הספרות הגדול, שהקשה על זכירת השיטה, והגביל אותה לאלו שהוכשרו במיוחד. כמו כן, תרמו המצרים להתפתחות השברים. ישנם מספר ממצאים, כמו פפירוס מוסקבה (1850 לפנה"ס) ופפירוס רינד (1650 לפנה"ס), המעידים על יכולת פתרון משוואות ליניאריות וריבועיות, אך בכל הממצאים הללו ניכר כי המצרים ראו באריתמטיקה מדע שימושי, ותו לא.

שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו, כאשר בסיס הספירה הוא 60. בסיס זה השפיע רבות על חיינו – אנו סופרים 60 שניות בדקה ו-60 דקות בשעה, ומחלקים את המעגל ל-360 מעלות. ישנן עדויות המעידות על רמתם המתמטית של הבבלים, כמו לוח החרסית פלימפטון 322. חסרונה העיקרי של שיטת הספירה הבבלית, הוא היעדר סימן מיוחד לספרה אפס, שגרם לבבלים להשאיר רווח בכל מקום שבו אמורה להימצא הספרה. חיסרון זה כובל את קריאת המספר הכתוב אל ההקשר שלו.

בעוד שהבבלים והמצרים ראו באריתמטיקה כולה בבחינת מדע שימושי, היוונים פיתחו את האריתמטיקה המחקרית במאה ה-5 לפנה"ס. היוונים השתמשו במערכת אקסיומות כדי לבסס את חישוביהם, והתעניינו במהות הפילוסופית של המספרים. הם מיינו את המספרים לסוגים שונים וחקרו את תכונותיהם הכלליות. היוונים היו הראשונים שהוכיחו כי ישנם אינסוף מספרים ראשוניים; הם סללו את הדרך למציאת הוכחה ל"משפט היסודי של האריתמטיקה" ואף גילו שורשים שהם מספרים אי-רציונליים.

המתמטיקאי היווני דיופנטוס חיבר במאה השלישית את ספרו "אריתמטיקה" שנחשב המקביל האריתמטי-אלגברי ל"יסודות" של אוקלידס. בספר זה הציג דרכים לפתירת מערכת משוואות שמספר הנעלמים בהן גדול ממספר המשוואות ופתרונותיהם הם מספרים שלמים בלבד; משוואות אלה קרויות על-שמו, משוואות דיופנטיות. בזכות יצירה זו מכונה דיופנטוס בשם "אבי האלגברה".

תרבות המאיה, שהשתמשה בשיטת ספירה המתבססת על המספר 20, הביאה עמה את המספר 0 כחידוש רב משמעות. סימונים למקומות "ריקים" היו קיימים עוד קודם לכן, אך ספרת ה-0, במשמעות הקרובה ביותר לזו המוכרת לנו כיום, החלה בשימוש על ידי המאיה.

השיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים כיום, שיטה המציגה כל ספרה כסכום של חזקות של 10, החלה את קיומה בהודו. הספרות העשרוניות המוכרות לנו כיום, התפתחו מספרות אלה ועברו שינויים צורניים עד אשר התקבעו במאה החמש-עשרה, בין היתר עקב השפעת מהפכת הדפוס. ההודים פיתחו את כללי החשבון מן התרבות המצרית והתרבות הבבלית וביססו את המספרים השליליים ואת הבדלת ערכי השורש של מספר חיובי. שיטה זו אומצה בהמשך על ידי התרבות הערבית אשר פיתחה את אופן כתיבת הספרות לצורתן הנוכחית. לאונרדו מפיזה (הידוע גם בשם פיבונאצ'י) העביר את השיטה ההודית-ערבית לאירופה, באמצעות ספרו הנודע "ספר החשבונייה", שנכתב ב-1202.

במהלך ימי הביניים חוותה המתמטיקה בכללותה עצירה מסוימת בפיתוחה. בימי הרנסאנס שב הפיתוח המתמטי לאירופה בכללותו, ובפרט עיסוק בנושא האריתמטיקה.

הבסיס הבינארי, שבו נעשה שימוש בשני סימנים בלבד – 0 ו-1, פותח במאה השבע-עשרה על ידי לייבניץ ונכנס לשימוש מעשי בעיקר עם התפתחות האלקטרוניקה הספרתית, בעיקר בזכות תרומתו של קלוד שאנון. עם התפתחות המחשוב, נכנס בסיס זה לשימוש גם במחשב, אך עקב היותו מסורבל לשימושם של בני האדם, הממשק בין האדם למחשב נעשה בשיטה העשרונית, ומומר על ידי המחשב לבסיס בינארי לשם פעולתו הפנימית. במקביל נכנסו לשימוש בתחום המחשוב שיטות ספירה שבסיסיהן הם חזקות טבעיות של 2 – בסיס אוקטלי ובסיס הקסדצימלי.

עם התפתחות המתמטיקה המודרנית, קיבלה המילה "אריתמטיקה" משמעויות נרחבות יותר מאשר "הענף העוסק בפעולות חשבוניות", ובאריתמטיקה המודרנית נכללים תחומים רבים בתורת המספרים, כגון תבניות ריבועיות ועקומים אלגבריים מסובכים יותר (ובפרט עקומים אליפטיים).

פעולות אריתמטיות

לוח החיבור מספק הגדרה פשטנית לפעולת החיבור

אף שלוח הכפל המלא מ-1 עד 10 מכיל 100 מכפלות, ניתן לשנן את כולו על ידי 36 מכפלות בלבד. בתמונה זו ניתן לראות את 36 המכפלות הללו בלוח הכפל, כאשר שאר הכפולות הוצאו מן הלוח.

ערך מורחב – ארבע פעולות החשבון

האריתמטיקה היסודית עוסקת במספר פעולות יסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק; פעולת הכפל החוזר, הקרויה העלאה בחזקה; הפעולות ההפוכות לחזקה – הוצאת שורש ולוגריתם.

ארבע הפעולות הראשונות נקראות ארבע פעולות החשבון:

• פעולת החיבור קשורה להוספת מספר עצמים למספר אחר של עצמים. את החיבור של a ו-b מסמנים ב-$\!\,a+b$, קרי: "a ועוד b" או "a פלוס b". שני המספרים a ו-b נקראים "מחוברים", ותוצאת החיבור היא ה"סכום" שלהם.
• פעולת החיסור מתקבלת מגריעה של מספר עצמים ממספר אחר, או הפרדה של קבוצה לשתיים. החיסור של b מ-a מסומן $\!\,a-b$, קרי: "a פחות b" או "a מינוס b". האיבר השמאלי מכונה "מחוסר" והימני "מחסר". תוצאתה של פעולת החיסור נקראת "הפרש".
• בפעולת הכפל אפשר לראות תהליך של חיבור חוזר: חיבור מספר נתון של כמויות שוות זו לזו. הכפל של a ב-b מסומן $a\times b$ או $a\cdot b$, קרי: "a כפול b" או "a פעמים b". בפעולת הכפל כל איבר נקרא "כופל", והתוצאה נקראת "מכפלה".
• פעולת החילוק הפוכה לכפל; היא עונה על השאלה: "כמה עצמים יהיו בכל חלק של קבוצה נתונה, אם יחלקו אותה למספר נתון של חלקים שווים". החילוק של a ב-b מסומן a/b, או a:b, או גם ${a \over b}$, קרי: a חלקי b. האיבר a הוא "מחולק" (או "מונה") והאיבר b הוא "מחלק" או ("מכנה"). תוצאתה של פעולת החילוק נקראת "מנה".

חוקי חשבון

חוקי החשבון הם כללים יסודיים שאותן מקיימות ארבע פעולות החשבון, וניתן להיעזר בהם לפישוט תהליך החישוב. הראשון שכתב את חוקי החשבון כפי שהם ידועים לנו כיום היה המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה, ב-625 לספירה לערך.

חוקים חשובים אלה הופכים את פעולות החשבון לפעולות שימושיות ורבות יישומים. באופן מוכלל, מבנה עשיר כדוגמת המספרים הרציונליים והממשיים המאפשר את פעולות החשבון ומקיים את כלליהן נקרא שדה.

להלן פירוט הכללים האריתמטיים היסודיים.

חוק הקיבוץ או חוק הצירוף (אסוציאטיביות)

חוק הפועל על פעולות החיבור והכפל. סכומם או מכפלתם של כמות מספרים מסוימת בסדר קבוע, יכולים להופיע בסדר שונה וניתן לקבץ אותן בסוגריים מבלי שתוצאתם תשתנה, משום שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן. ניתן לבטא זו בצורה מתמטית, כאשר a,b,c הם גורמים הערוכים בסדר מסוים:

• $\ (a+b)+c=a+(b+c)$ ולכן ניתן לכתוב פשוט $\ a+b+c$.
• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ ולכן ניתן לכתוב פשוט $a\cdot b\cdot c$.

חוק החילוף (קומוטטיביות)

כאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:

• $\!\,a+b=b+a$.
• $\!\,a\times b=b\times a$.

לעומת זאת, פעולות החיסור והחילוק אינן קומוטטיביות. כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן ישנה חשיבות לסדר האופרנדים. קל לראות זאת על ידי דוגמה:

• $\!\,1-0=1$, אבל $\!\,0-1=-1$. אין זה מקרי שקיבלנו מספרים ששונים בסימנם – זוהי תכונה כללית.
• $\!\,4:2=2$, אבל$\!\,2:4={\frac {1}{2}}$. גם כאן, אין זה מקרי שקיבלנו שני מספרים כך שהאחד שווה ל-1 חלקי השני.

חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות)

החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל. הוא קובע שלכל שלושה מספרים $\ a,b,c$ מתקיים:
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

קיום איבר יחידה ואיברים נגדיים

לפעולת החיבור ולפעולת הכפל קיימים איברי יחידה תואמים שאינם משנים את תוצאת החישוב לאחר הפעלתם. המספר 0 הוא איבר היחידה של חיבור – תוצאת חיבור מספר עם אפס היא המספר עצמו: $\!\,a+0=a$. בצורה דומה 1 הוא איבר היחידה של כפל: $a\cdot 1=a$. לחיסור ולחילוק אין איברי יחידה.

בנוסף לכל מספר יש איבר נגדי שתוצאת הפעלתו עם המספר נותנת את איבר היחידה. המספר הנגדי למספר $\!\,a$ ביחס לחיבור מסומן $\!\,-a$ והוא מקיים: $\!\,a+(-a)=0$. האיבר הנגדי ביחס לכפל נקרא גם מספר הופכי ומסמנים אותו $\!\,a^{-1}$ ‏ והוא שווה ל-$\!\,1/a$. ההופכי מקיים: $a\cdot a^{-1}=1$.

חזקות

במספרים שלמים, פעולת החזקה אינה אלא שם מקוצר לפעולת כפל חוזרת של מספר בעצמו: המכפלה של a בעצמו b פעמים נקראת "a בחזקת b", ומקובל לסמן אותה בסימון ${a}^{b}$. כאשר b מספר קטן, מקצרים בעברית וקוראים ל-$\ a^{2}$ "a בריבוע" ל-$\ a^{3}$ "a בשלישית", ל-$\ a^{4}$ "a ברביעית", וכדומה. a נקרא "בסיס החזקה" ו-b ה"מעריך".

שורש היא פעולה שעונה על השאלה "מהו המספר שאם נעלה אותו בחזקה מסוימת יתן לנו תוצאה נתונה?" שורש מסדר a של b מסומן ${\sqrt[{a}]{b}}$. קרי: שורש מסדר a של b.

לוגריתם היא פעולה ההפוכה לפעולת החזקה. פעולה זו מוצאת את החזקה בהינתן בסיס ותוצאה; עונה על השאלה "באיזה חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב $\log _{b}a$.

חוקי חזקות

מן הגדרה שהבאנו לעיל, ניתן להסיק את חוקי החזקות:

• מכפלה של שתי חזקות בעלות אותו בסיס שווה לחזקה בעלת אותו בסיס, שהמעריך שלה הוא סכום המעריכים של שתי החזקות המוכפלות, כלומר:

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

• חזקה של חזקה בעלת בסיס נתון, תהיה שווה לחזקה של אותו הבסיס שהמעריך שלה הוא מכפלת המעריכים של שתי החזקות הקודמות, כלומר:

${(a^{m})}^{n}=a^{mn}$

• חזקה של מכפלת שני בסיסים, שווה למכפלת החזקות בעלות אותו המעריך של שני הבסיסים, כלומר:

$a^{n}\cdot b^{n}={(a\cdot b)}^{n}$

• כדי שחוק המכפלה של חזקות ישמר, יש להגדיר לכל a שונה מאפס כי $a^{-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$ ו-$\ a^{0}=1$.

שיטות ספירה

ערך מורחב – שיטות ספירה

גרסה של ספרות ברהאמיניות כפי שהיו מקובלות במאה הראשונה לפנה"ס. מספרות אלו התפתחו הספרות המערביות המוכרות לנו.

לוח הכפל – זוהי טבלה המספקת הגדרה פשטנית לפעולות הכפל. לוח זה מופיע בבסיס דואודצימלי: בסיס 12.

ניתן להציג כל מספר נתון במספר צורות בהתאם לטווח הספרות הנתון בידינו לצורך הצגתו. בחיי היום יום משתמשים בעיקר בשיטת הספירה העשרונית. בשיטה זו, נעשה שימוש בספרות 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ו-9 על מנת להציג כל מספר נתון בעזרת סכום של חזקות של עשר. מבחינה היסטורית, קודם לשימוש בבסיס העשרוני, הופיעו שיטות ספירה נוספות אשר התבססו על רצף ספרות המייצגות מספר בתלות בערך אליו משויכת כל ספרה ולעיתים בתלות במקומה, כך שלמקום לא הייתה משמעות טכנית מבחינת סדר הגודל הכללי, אלא בתלות בספרות אחרות. בשיטות הספירה העברית, למשל, מבטאת כל אות מספר הקבוע מראש בלא תלות במקומה במילה. בעת כתיבה בספרות רומיות, שהיא שיטת כתיבה המבוססת על אותיות לטיניות, נעשה שימוש בהקבצה: לכל אות משויך ערך מסוים, ומיקומה קובע את חיבור ערכה או חיסור ערכה ביחס לאותיות שלידן היא עומדת. החיסרון העיקרי של שיטות אלה נוגע לסרבול שלהן בעת הצגת מספרים גדולים, ובפרט בעת ביצוע חישובים באמצעותם או אחד כלפי השני כאשר הם בייצוג שונה.

בשיטה הבבלית מופיע לראשונה הרעיון של קשר בין המיקום של הסימן לסדר הגודל אותו הוא מבטא כאשר שיטה זו משלבת עקרונות של קיבוץ ושל סכום חזקות שבסיסן שישים.

עם הופעת השיטה הערבית-הודית, הפך השימוש בבסיס העשרוני לנפוץ במיוחד וכיום הוא משמש כשיטה כמעט בלעדית לצורכי יום-יום בעולם כולו.

בתחומי האלקטרוניקה הספרתית והמחשבים בפרט, נעשה שימוש רב בבסיס בינארי לצורכי הפעלת מעגלים, כאשר לרוב '0' מציין מתח פעולה נמוך ו-'1' מציין מתח פעולה גבוה. פעולות עם בסיס בינארי מסורבלות למדי לבני אדם, משום שהמספרים ארוכים יחסית, נהוג להציג את זיכרון המחשב בבסיסים כמו אוקטלי והקסדצימלי, או בשיטות אחרות שבסיסן $2^{n}$ עבור n טבעי.

כמו כן, נמצאים בשימוש מצומצם יחסית בסיסים נוספים כמו בסיס דואודצימלי.

במעבר מבסיס כללי K כלשהו לבסיס עשרוני, תיוצג המילה $\ a_{n}a_{n-1}a_{n-2}...a_{0}.a_{-1}a_{-2}...a_{-m}$ כך:

$\ a_{n}\times k^{n}+a_{n-1}\times k^{n-1}+a_{n-2}\times k^{n-2}+...+a_{0}\times k^{0}+a_{-1}\times k^{-1}+a_{-2}\times k^{-2}+...+a_{-m}\times k^{-m}$.

מבחינה מתמטית, שינוי שיטת הספירה אינו משנה את מהותו של המספר, אך הוא משנה את האופן הטכני בו תבוצענה עליו הפעולות האריתמטיות. כך, למשל, בעת ביצוע פעולת חיסור בבסיס הקסדצימלי יילקח לווה השווה ל-10 בבסיס הקסדצימלי שהם 16 בבסיס עשרוני.

תורת המספרים

ערך מורחב – תורת המספרים

המונח "אריתמטיקה" מתקשר לעיתים גם לתורת המספרים בהקשר של תכונות ומציאת אלגוריתמים העוסקים בנושאים כגון ראשוניות, מבחני התחלקות ופירוק לגורמים, כמו גם פתרון משוואות דיופנטיות. בעבר נהוג היה להתייחס אל תורת המספרים בכללותה, בהרחבה, כאל "אריתמטיקה", אף כי היום אין נהוג לעשות עוד שימוש במונח זה למטרה זו. הדים לשימוש זה ניתן למצוא, למשל, במונחים "המשפט היסודי של האריתמטיקה" ו"פונקציות אריתמטיות".

המשפט היסודי של האריתמטיקה עוסק בפירוק לגורמים. משפט זה קובע כי כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, פרט לשינוי סדר הגורמים. כפי שנרמז משמו, למשפט זה חשיבות רבה בתורת המספרים, שכן הוא מראה כי המספרים הראשוניים הם "אבני הבניין" של כלל המספרים. שמו של משפט זה מהווה דוגמה להכללה של המונח "אריתמטיקה" כך שהוא כולל גם נושאים המוכללים כיום בשם הרחב יותר "תורת המספרים".

פונקציות אריתמטיות הן פונקציות שמבואן הוא מספר טבעי ומוצאן הוא מספר טבעי אף הוא, כאשר המוצא נקבע לפי תכונות החלוקה של המבוא. דוגמה לפונקציה זו היא פונקציית מביוס. השם אשר נבחר לקבוצת פונקציות זו מדגים אף הוא מבט כולל יותר על גבולות האריתמטיקה.

הקשרים פילוסופיים

ערך מורחב – פילוסופיה של המתמטיקה

הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף פילוסופי העוסק בשאלות הנוגעות למדע המתמטיקה בפרט. מתוקף היות האריתמטיקה ענף מרכזי מאוד במתמטיקה, עולות סביבה שאלות פילוסופיות רבות אשר נוגעות ליסודות מהן "בנויה" המתמטיקה. כמו כן, שאלות רבות הנוגעות לפילוסופיה של האריתמטיקה, נושקות אף לתחומים אחרים, כגון תורת המספרים.

התפתחויות אריתמטיות רבות, הושפעו בתקופתן מהפילוסופיות והדתות אשר מהן הושפעו המתמטיקאים. כך, למשל, פילוסופיות קוסמולוגיות של דת הג'ייניזם ההודית הובילו לעיסוק מורחב של המתמטיקאים ההודים במספרים גדולים ולפיתוחים נלווים.

היחס הפילוסופי אל האריתמטיקה בכללותה הכתיב לא אחת את אופן ההתפתחות שלה במקומות ובזמנים שונים. היוונים הקדומים, למשל, התייחסו אל האריתמטיקה כאל תחום מדעי-מחקרי בנוסף להיותו כלי שימושי ולפיכך ניסו לבססו על מערכת של אקסיומות ומשפטים הנובעים מהם ותרמו לפיתוח וארגון הידע האריתמטי בתקופתם. הרומים, לעומתם, התייחסו אל האריתמטיקה כאל כלי טכני-יישומי ולפיכך לא התעמקו בחקרה ולא אמצו חלק מן הידע של קודמיהם היוונים.

דוגמה נוספת להשפעה פילוסופית על התפתחות המתמטיקה היא סוגיית ההתפתחות של המספר והמכלול הרעיוני שמאחורי האפס. במשך שנים רבות לא הוכר האפס כמספר בפני עצמו ויוצג כ"מקום ריק" בכתיבת מספרים. זאת, בין היתר, עקב הקושי הפילוסופי שעוררה המחשבה כי ניתן "לייצג שום דבר".

קיומם של מספרים, הוא נושא לתהיות פילוסופיות רבות. האם, ובאיזה מובן, קיימים המספרים? האם המספרים הם ישויות מוחלטות או פרי מערכת אקסיומות "סתמית"? האם ישנו הבדל בין משמעות קיומם של מספרים טבעיים לרציונליים, אי-רציונליים, טרנסצנדנטיים או אף מרוכבים? בהקשר זה ידועים דבריו של המתמטיקאי לאופולד קרונקר: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם".

אף סביב הפעולות האריתמטיות עולות שאלות פילוסופיות רבות. למשל: האם הפעולות האריתמטיות המוכרות לנו הן מוחלטות, או תלויות במערכת הגדרות ואקסיומות "סתמיות"? האם ייתכנו מערכות אריתמטיות שבסיסן שונה באופן מהותי מן האריתמטיקה המוכרת לנו? ניתן לייצג שאלה זו באופן ציורי יותר: אם נפגוש חיזרים תבוניים, האם הבסיס האריתמטי עליו נשענת המתמטיקה שלהם יהיה זהה במהותו?

אריתמטיקה מודרנית

במתמטיקה המודרנית, המונח "אריתמטיקה" משמש, בהכללה, לתחום העוסק בקיום פתרונות למשוואות, או מערכות של משוואות, מעל השדות של תורת המספרים, ובמיוחד שדות מקומיים וגלובליים. תחום זה, הנקרא לפעמים גם אריתמטיקה גאומטרית, עוסק למשל בקיום פתרונות למשוואות כמו $\ x^{2}+6y^{2}+14z^{2}=n$ (כאשר n הוא מספר טבעי), כאשר המשתנים x,y,z צריכים להיות מספרים רציונליים.

אחת השאלות המרכזיות בתחום קשורה בהיקף התחולה של עקרון הסה, הקובע שבמקרים מסוימים, קיומו של פתרון למשוואה מעל כל השלמה של השדה K, מבטיח שקיים פתרון גם בשדה K עצמו. עקרון הסה חל על תבניות ריבועיות, אבל הוא נכשל, לדוגמה, עבור עקומים אליפטיים. פירושו של דבר הוא שלמשוואה מהצורה $\ y^{2}=x^{3}-ax+b$ (עם מקדמים רציונליים) יכולים להיות פתרונות מעל הממשיים ומעל כל שדה של מספרים p-אדיים, בשעה שאין לה פתרונות מעל הרציונליים. את המידה שבה נכשל עקרון הסה ניתן לכמת באמצעות חבורה הנקראת חבורת שפרביץ', שאותה מגדירים בכלים קוהומולוגיים. משערים שחבורה זו סופית, אך לעת עתה לא נמצאה לכך הוכחה.

האריתמטיקה נושקת גם לתורת השדות, בה מביאות שאלות אריתמטיות למחקר ענֵף של תכונות של שדות. כך למשל נחקרים "שדות Cn", שבהם מובטח פתרון למשוואות הומוגניות מסוימות, ושדות פסאודו-סגורים אלגברית, המחקים היבטים מסוימים של השדות הסגורים אלגברית.

יחס החברה לאריתמטיקה

חיי היום-יום דורשים מהאדם לבצע פעילויות אריתמטיות פשוטות כחלק מהתנהלותו השגרתית. כך, למשל, שימוש בפעולות אריתמטיות פשוטות נעשה בבישול, בנהיגה, בקריאת שעון, בתכנון כלכלת הבית ולצרכים רבים נוספים. כלים בסיסיים מתחום האריתמטיקה נחשבים לחלק בלתי נפרד מן האוריינות. נוסף על כך, האריתמטיקה היסודית מהווה את הבסיס ההכרחי לרכישת ידע מתקדם יותר במתמטיקה, כאשר המתמטיקה בכללותה נחשבת כדיסציפלינת מדע מרכזית; הידע המתמטי בכללותו מהווה לא אחת מדד מרכזי בקביעת השכלתו הפורמלית של אדם (למשל, במבחן הפסיכומטרי או ה-SAT לצורך קבלה ללימודים אקדמאיים). לפיכך, מקנה החברה חשיבות רבה לרכישת מיומנויות אריתמטיות כבר בגיל צעיר.

לקריאה נוספת

• האנציקלופדיה העברית, ע"ע אריתמטיקה ומתמטיקה.
• שמעון דגן (בעריכת ד"ר דב ירדן), תולדות המתמטיקה הקדומה, הוצאת דביר, 1955.

• A Course in Arithmetic, J.-P. Serre, Springer-Verlag.

קישורים חיצוניים

• The MacTutor History of Mathematics archive
• אריתמטיקה, באתר MathWorld (באנגלית)
• אריתמטיקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• חשבון, דף שער בספרייה הלאומית