בעיית המומנטים

בתורת ההסתברות, בעיית המומנטים עוסקת בתנאים בהם התפלגות נקבעת ביחידות על ידי המומנטים שלה. כלומר תחת אילו תנאים לסדרת מומנטים קיימת התפלגות אחת שמתאימה לה. לבעיית המומנטים מספר ניסוחים ומספר שימושים, ביניהם בתורת ההסתברות, אנליזה פונקציונלית וסטטיסטיקה.

הגדרה

בניסוח הקלאסי, בעיית המומנטים שואלת, בהינתן סדרה $m_{0},m_{1},m_{2},...$, האם קיימת מידה חיובית $\mu$ על הישר הממשי, $\mathbb {R}$, כך ש־$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$.

הבעיה למעשה עוסקת בקיום ויחידות של המידה $\mu$ אבל במונחים של תורת ההסתברות. בעיית המומנטים שקולה לשאלה האם התפלגות נקבעת על פי המומנטים שלה.

ניסוח זה הנקרא גם בעיית המומנטים של המבורגר (Hamburger moment problem).

ניסוחים נוספים

לבעיית המומנטים ניסוחים נוספים הנבדלים בתומך של $\mu$:

• בעיית המומנטים של סטילטיס

$m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$

• בעיית המומנטים של האוסדורף

$m_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\,d\mu (x)$

תנאים לקיום מידה

בניסוח הקלאסי

עבור סדרת מומנטים $\{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, התנאים ההבאים שקולים:

1. קיימת מידה $\mu$ כך ש $m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$.
2. לכל $n\in \mathbb {N}$ ולכל $c_{0},...,c_{n}\in \mathbb {R}$ מתקיים $\sum _{i,j=0}^{n}m_{i}+jc_{i}c_{j}\geq 0$.
3. לכל $n\in \mathbb {N}$, המטריצה $H_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ המוגדרת על ידי $(H_{n})_{ij}=m_{i+j}$ היא מטריצה חיובית.

בניסוח סטילטיס

עבור סדרת מומנטים $\{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, התנאים ההבאים שקולים:

1. קיימת מידה $\mu$ כך ש $m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$.
2. לכל $n\in \mathbb {N}$ ולכל $c_{0},...,c_{n}\in \mathbb {R}$ מתקיים $\sum _{i,j=0}^{n}m_{i}+jc_{i}c_{j}\geq 0$ וגם $\sum _{i,j=0}^{n}m_{i+1}+jc_{i}c_{j}\geq 0$.
3. לכל $n\in \mathbb {N}$, המטריצות $H_{n},H'_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ המוגדרות על ידי $(H_{n})_{ij}=m_{i+j},(H'_{n})_{ij}=m_{i+j+1}$ הן מטריצות חיוביות.

בניסוח האוסדורף

הסדרה, $\{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ זו סדרת מומנטים ב$[0,1]$ אם לכל $k,n\in \mathbb {N}$ מתקיים $\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}s_{k+j}\geq 0$.

תנאים ליחידות המידה

בניסוח הקלאסי

המשפטים ההבאים מהווים תנאים ליחידות המידה $\mu$ המקיימת את בעיית המומנטים הקלאסית:

• תהיי $\mu$ מידת הסתברות, כך שלכל $n\in \mathbb {N}$, המומנט $m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$ סופי. אם לטור חזקות $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}r^{n}}{n!}}$ יש רדיוס התכנסות חיובי עבור $r$ חיובי כלשהו אזי $\mu$ מידת ההסתברות היחיד בעל המומנטים $\{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.
• תהי $\{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת מומנטים כך שמתקיים $\lim _{n\to \infty }\sup {\frac {m_{2n}^{\frac {1}{2n}}}{2n}}<\infty$ אז קיימת לכל היותר פונקציית צפיפות אחת, $\mu$, כך ש $m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$.

בניסוח האוסדורף

היחידות של המידה $\mu$ בבעיית המומנטים בנוסח האוסדורף נובע ממשפט הקירוב של ויירשטראס.

רקע היסטורי

המונח בעיית המומנטום הופיע לראשונה בשנים 1894–1895, במאמרו של המתמטיקאי תומאס יוהאן סטילטיס. המאמר עסק בשברים משולבים ובין היתר, סטילטיס הציג ופתר בו את בעיית המומנטים בניסוח דומה לבעיית מומנטים סטילטיס אך התעסק רק בקיומו של המידה $\mu$ ולא ביחידותו. במאמר, סטילטס טבע את השם 'מומנטים' מעולם המכניקה ממנו שאב השראה לפתרון בעיות אנליטיות שונות.

ב-1920, המתמטקאי הגרמני הנס המבורגר (Hans Hamburger), הרחיב את הבעיה לציר הממשי והציג תנאים מספקים והכרחים לקיום מידת $\mu$ מתאימה. בשונה לסטילטיס, המבורגר גם הציג תנאים מספקים והכרחים ליחידות הפתרון. המבורגר היה הראשון שהתייחב לבעיית המומנטים כתורה בפני עצמה וכיום, הניסוח שלו לבעיה ידוע בתור הניסוח הקלאסי.

בסמיכות לעבודותו של המבורגר, גם המתמטיקאים רולף נבנלינה, מרסל ריס, טורסטן קלרמן ופליקס האוסדורף פיתחו את בעיית המומנטים.

ראו גם

• שיטת המומנטים (תורת ההסתברות)

לקיראה נוספת

• Christian Berg, Indeterminate moment problems and the theory of entire functions, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 65, Issues 1–3, 1995, Pages 27-55, ISSN 0377-0427,(1995) https://doi.org/10.1016/0377-0427(95)00099-2.
• Lin, G.D. Recent developments on the moment problem. J Stat Distrib App 4, 5 (2017). https://doi.org/10.1186/s40488-017-0059-2
• Akhiezer, Naum I. (1965). The classical moment problem and some related questions in analysis. New York: Hafner Publishing Co. (translated from the Russian by N. Kemmer)