שיטת המומנטים (תורת ההסתברות)

בתורת ההסתברות, שיטת המומנטים היא שיטה להוכחת התכנסות בהתפלגות באמצעות התכנסות סדרה של מומנטים.

יש להבדיל בין שיטת המומנטים בתורת ההסתברות לבין שיטת המומנטים בסטטיסטיקה. שתי השיטות משתמשות במומנטים של התפלגות אך בתורת ההסתברות, השיטה מסייעת להוכיח התכסנות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים. לעומת זאת בסטטיסטיקה השיטה משמשת לאמידת פרמטרים. כמו כן, בתורת ההסתברות, שיטת המומנטים דורשת שכל המומנטים קיימים ואילו בסטטיסטיקה, מספיק שמספר המומנטים הקיימים שווה למספר הפרמטרים שיש לאמוד.

השיטה

יהי X משתנה מקרי שכל המומנטים שלו קיימים. כלומר לכל $k\in \mathbb {N}$ מתקיים $E[X^{k}]<\infty$. נניח שההתפלגות נקבעת לפי המומנטים, משמע לא קיימת התפלגות אחרת בעלת אותם המומנטים. אם לכל $k\in \mathbb {N}$ מתקיים $\lim _{n\rightarrow \infty }E[X_{n}^{k}]=E[X^{k}]$ אז הסדרה $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת בהסתברות ל$X$ .

שיטה זו היא למעשה משפט Fr´echet-Shohat .

דוגמה להתפלגות שלא נקבעת על ידי מומנטים

נראה שהדרישה שהתפלגות נקבעת לפי המומנטים שלה היא הכרחית . נקח לדוגמה את ההתפלגות הלוג-נורמלית (עם $\mu =0,~~\sigma ^{2}=1$) המוגדרת על ידי פונקציית הצפיפות $f_{0}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x}}e^{\frac {-(\log x)^{2}}{2}}$. כמוכן, נגדיר סדרה של משתנים מקרים, $\{X\}_{n}^{\infty }$ שפונקציית הצפיפות שלהם מוגדרת על ידי $f_{n}(x)=f_{0}(x)(1+n\cdot sin(2\pi \log x))$ לכל $n\in \mathbb {N}$. ניתן להראות שהמומנט ה$k$ של שתי ההתפלגויות הינו $e^{\frac {k^{2}}{2}}$ ובפרט הם בעלי מומנטים שווים. מכאן שההתפלגות הלוג-נורמלית לא נקבעת על ידי המומנטים שלה. בעזרת אינטגרציה, ניתן לראות שהסדרה $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ לא מתכנסת בהתפלגות להתפלגות הלוג-נורמלית. דוגמה זו מראה את הצורך בדרישה ליחידות ההתפלגות בהינתן המומנטים. השאלה האם התפלגות נקבעת מהמומנטים שלה או תחת אילו תנאים הדבר קורה היא בעיה מוכרת הנקראת בעיית המומנטים.

יישומים

יישום בתורת הדגימה

יהיו $x_{n1},...,x_{nn}$, $n$ מספרים לא בהכרח שונים, המשוייכים לאלמנטים באוכלוסייה. נניח שהדגימה מנורמלת באופן הבא

$\sum _{h=1}^{n}x_{n}h=0,~~\sum _{h=1}^{n}x_{nh}^{2}=1,~~M_{n}=\max _{h\leq n}|x_{nh}|$.

נקח דגימה בעלת חשיבות לסדר, $X_{n1},...,X_{nk_{n}}$ מתוך $n$ המספרים הנתונים ונסמן $S_{n}=X_{n1}+\cdots +X_{nk_{n}},~~s_{n}^{2}=k_{n}/n$. נשים לב ש$s_{n}$ הוא היחס בין גודל הדגימה לבין גודל המדגם.

אילו $X_{nk}$ היו בלתי תלויים, מההנחות על המדגם היינו מקבלים ש $Var(S_{n})=s_{n}^{2}$. מאחר שזה לא בהכרח המקרה, ניתן להשתמש בשיטת המומנטים כדי להראות שאם התנאים הבאים מתקיימים $s_{n}^{2}={\frac {k_{n}}{n}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,~~{\frac {M_{n}}{s_{n}}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,~~k_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0$ אז ${\frac {S_{n}}{s_{n}}}\rightarrow N(0,1)$ בהתפלגות.

זה מראה שאם $k_{n}$ קטן ביחס ל$n$, אז ההשפעה של התלות זניחה יחסית.

יישומים נוספים

מלבד דרך להוכת התכנסות בהתפלגות של משתנים מקרים, ויישום בתורת הדגימה, שיטה משמשת כדרך נוספת להוכחת משפט הגבול המרכזי. כמוכן, לשיטה יישומים בתורת המספרים בהוכחת משפט משפט ארדש-כץ .

ראו גם

• בעיית המומנטים
• התפלגות חצי המעגל של ויגנר
• התפלגות מרצ'נקו-פסטור

לקריאה נוספת

• Lin, G.D. Recent developments on the moment problem. J Stat Distrib App 4, 5 (2017). https://doi.org/10.1186/s40488-017-0059-2