בעיית שטיינר

בעיית שטיינר היא בעיה שהציג הגאומטרן השווייצרי יאקוב שטיינר ב-1850, בירחון המדעי של אוגוסט לאופולד קרל (August Leopold Crelle). הבעיה בניסוחו של שטיינר (בתרגום מגרמנית לעברית):

"אם מחלקים מספר נתון כלשהו לשני חלקים, ידוע שמכפלתם תהיה הגדולה ביותר אם החלקים יהיו שווי גודל. עיקרון זה נשמר כאשר מחלקים מספר כלשהו a ל-3, 4, 5, … n חלקים. כיוון שהמכפלות המתקבלות במקרים השונים האלה הן שונות בגודלן, נשאלת איפוא השאלה, לכמה חלקים שווי גודל, או באופן כללי לכמה חלקים בכלל יש לחלק מספר כלשהו a, כך שמכפלתם של החלקים תהיה הגדולה ביותר מכל המכפלות, דהיינו מקסימום של כל המקסימומים?"

שטיינר שאל על "המכפלה המקסימלית של החלקים של מספר", כלומר, מהו הערך המקסימלי של המכפלה

a_{1}\dots a_{n/m}

, כאשר

a_{1},\dots ,a_{n/m}

הם חלקים של מספר קבוע, n. לפי אי שוויון הממוצעים, הערך המקסימלי מתקבל כאשר כל החלקים שווים זה לזה, ואם קובעים שערכו של כל חלק הוא m, אז מספר החלקים הוא nm, וערך המכפלה הוא

m^{n/m}=\left(m^{1/m}\right)^{n}

. מכאן עולה כי כדי למצוא את הערך המקסימלי (עבור n נתון) יש לבחור m כך שהמספר

{\sqrt[{m}]{m}}

יהיה מקסימלי.

מכאן פתרון לבעיה שקול למציאת $x$ ככה ש . ${\frac {d}{dx}}{\sqrt[{x}]{x}}=0$

שטיינר מציין כי "קל למצוא" שהמקסימום מתקבל כאשר m שווה לבסיס הלוגריתם הטבעי (ואכן, זהו תרגיל בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי).

במכתבו לירחון הוסיף שטיינר שלכל מספר $c>1$ קיים בן-זוג יחיד $d>1$ , שעבורו ${\sqrt[{c}]{c}}={\sqrt[{d}]{d}}$ (במספרים שלמים יש למשוואה זו פתרון יחיד: ${\sqrt[{2}]{2}}={\sqrt[{4}]{4}}$ ).

פרסום הבעיה

חלק מפרסום הבעיה בא לה בעקבות הכללתה בתוך ספרו של היינריך דרי (Heinrich Dörrie),‏ 100 Great Problems of Elementary Mathematics‏ (100 בעיות גדולות במתמטיקה יסודית), אלא ששם מופיעה הבעיה בצורה מופשטת יותר, דהיינו:
מהו ערך $x$ שמביא את הפונקציה $f(x)={\sqrt[{x}]{x}}$ לערכה המרבי
והתשובה, כאמור לעיל, היא קבוע אוילר, ℮.

פתרון הבעיה

כפי שראינו הבעיה שקולה למציאת $x$ ככה ש ${\frac {d}{dx}}{\sqrt[{x}]{x}}=0$ . נראה ש ${\frac {d}{dx}}({\sqrt[{x}]{x}})={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}x^{1/x}{\Bigr )}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}e^{{\frac {1}{x}}ln(x)}{\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {ln(x)}{x^{2}}}{\Bigr )}*e^{{\frac {1}{x}}ln(x)}=(1-ln(x))*{\frac {\sqrt[{x}]{x}}{x^{2}}}$ על פי ניסוח השאלה ברור שצריך להתקיים $x>0$ , ומכאן גם ${\sqrt[{x}]{x}}=x^{\frac {1}{x}}>0$ , ${\frac {\sqrt[{x}]{x}}{x^{2}}}\neq 0$ לכן בשביל שהנגזרת תתאפס צריך להתקיים