במתמטיקה , אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרת מספרים סופית. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית , ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את האי-שוויון הוכיח אוגוסטן לואי קושי , וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.
לכל קבוצת מספרים ממשיים חיוביים
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
n
1
a
1
+
⋯
+
1
a
n
≤
a
1
⋯
a
n
n
≤
a
1
+
⋯
+
a
n
n
≤
a
1
2
+
⋯
+
a
n
2
n
{\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}
הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי .הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני .
הממוצע החשבוני קטן או שווה לשורש ממוצע הריבועים . בשלושת המקרים לא מתקיים שוויון , אלא אם כל המספרים
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
אם
a
1
,
⋯
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}
הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב-
n
{\displaystyle n}
A
n
=
a
1
+
⋯
+
a
n
n
{\displaystyle A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}
הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-
n
{\displaystyle n}
G
n
=
a
1
⋯
a
n
n
{\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}
הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים:
H
n
=
n
1
a
1
+
⋯
+
1
a
n
{\displaystyle H_{n}={\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}}
שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע ", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
במקרה
n
=
2
{\displaystyle n=2}
2
1
a
+
1
b
≤
a
b
≤
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}}
אם ורק אם
a
=
b
{\displaystyle a=b}
הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n = 2. באדום הממוצע החשבוני של
a
,
b
{\displaystyle a,b}
תכלת הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:
0
≤
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
−
4
a
b
=
(
a
+
b
)
2
−
4
a
b
4
a
b
≤
(
a
+
b
)
2
G
2
=
a
b
≤
a
+
b
2
=
A
2
{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq (a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab\\&=(a+b)^{2}-4ab\\4ab&\leq (a+b)^{2}\\G_{2}&={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}=A_{2}\end{aligned}}}
קל לראות כי
H
2
A
2
=
G
2
2
{\displaystyle H_{2}A_{2}=G_{2}^{2}}
G
2
≤
A
2
{\displaystyle G_{2}\leq A_{2}}
H
2
≤
G
2
{\displaystyle H_{2}\leq G_{2}}
קושי הוכיח את האי-שוויון
G
n
≤
A
n
{\displaystyle G_{n}\leq A_{n}}
ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות
n
{\displaystyle n}
2
n
{\displaystyle 2n}
אינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות
2
m
{\displaystyle 2^{m}}
m
{\displaystyle m}
חזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.
הצעד הראשון : נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
a
1
+
⋯
+
a
2
n
2
n
=
a
1
+
⋯
+
a
n
+
a
n
+
1
+
⋯
+
a
2
n
2
n
=
a
1
+
⋯
+
a
n
n
+
a
n
+
1
+
⋯
+
a
2
n
n
2
≥
a
1
⋯
a
n
n
+
a
n
+
1
⋯
a
2
n
n
2
≥
a
1
⋯
a
n
n
⋅
a
n
+
1
⋯
a
2
n
n
=
a
1
⋯
a
n
⋅
a
n
+
1
⋯
a
2
n
n
=
a
1
⋯
a
2
n
2
n
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}&={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}\\\\&={\frac {{\dfrac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\dfrac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}{2}}\\\\&\geq {\frac {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}{2}}\\\\&\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}}\\\\&={\sqrt {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}\\\\&={\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}\end{aligned}}}
כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל
n
{\displaystyle n}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
הצעד השני : נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל
n
{\displaystyle n}
a
1
,
…
,
a
m
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}
m
<
n
{\displaystyle m<n}
a
=
a
1
+
⋯
+
a
m
m
{\displaystyle a={\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{m}}}
a
1
⋯
a
m
⋅
a
n
−
m
n
≤
a
1
+
⋯
+
a
m
+
(
n
−
m
)
a
n
=
a
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{m}\cdot a^{n-m}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}+(n-m)a}{n}}=a}
ולכן
a
1
⋯
a
m
m
≤
a
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{a_{1}\cdots a_{m}}}\leq a}
את האי-שוויון
H
n
≤
G
n
{\displaystyle H_{n}\leq G_{n}}
ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי
f
(
x
1
+
⋯
+
x
n
n
)
≤
f
(
x
1
)
+
⋯
+
f
(
x
n
)
n
{\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}
לכל פונקציה
f
{\displaystyle f}
קמורה . אם משתמשים בפונקציה exp , ומציבים
x
i
=
ln
(
a
i
)
{\displaystyle x_{i}=\ln(a_{i})}
a
1
⋯
a
n
n
≤
a
1
+
⋯
+
a
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}
ממוצע לוגריתמי במקרה
n
=
2
{\displaystyle n=2}
ממוצע הלוגריתמי אשר ממוקם בין הממוצע ההנדסי לממוצע החשבוני. כלומר:
x
1
x
2
≤
x
1
−
x
2
ln
x
1
−
ln
x
2
≤
x
1
+
x
2
2
{\displaystyle {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}-x_{2}}{\ln x_{1}-\ln x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}
אחת ההכללות החשובות לאי־שוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב
a
k
{\displaystyle a_{k}}
p
k
{\displaystyle p_{k}}
אם
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
p
1
,
…
,
p
n
{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}
P
{\displaystyle P}
P
p
1
a
1
+
⋯
+
p
n
a
n
≤
a
1
p
1
⋯
a
n
p
n
P
≤
p
1
a
1
+
⋯
+
p
n
a
n
P
{\displaystyle {\frac {P}{{\dfrac {p_{1}}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {p_{n}}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{P}]{a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}}}}\leq {\frac {p_{1}a_{1}+\cdots +p_{n}a_{n}}{P}}}
באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים
p
k
{\displaystyle p_{k}}
P
=
1
{\displaystyle P=1}
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
בנוסף, ישנן הכללות לאי-שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות:
∑
x
i
α
n
α
{\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{\sum {\frac {x_{i}^{\alpha }}{n}}}}}
α
{\displaystyle \alpha }
x
i
{\displaystyle x_{i}}
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
α
→
0
+
{\displaystyle \alpha \to 0^{+}}
![{\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1611187f97bda0dbf850f8d78868ac4dd80e7220)
![{\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141846b163f0b3129dbc303845a60b4f971717d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}&={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}\\\\&={\frac {{\dfrac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\dfrac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}{2}}\\\\&\geq {\frac {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}{2}}\\\\&\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}}\\\\&={\sqrt {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}\\\\&={\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299c34255f0ba0928362c79ae451fe0e17feac55)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{m}\cdot a^{n-m}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}+(n-m)a}{n}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905bf035e378da92b58a8aff7c14faccc33e70cb)
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{a_{1}\cdots a_{m}}}\leq a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843c8c15ad1c7389420f1e9123ed32ad768e634c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8367eb946973814993aa74f9a52191809e965c)
ערך מורחב – ממוצע לוגריתמי
![{\displaystyle {\frac {P}{{\dfrac {p_{1}}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {p_{n}}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{P}]{a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}}}}\leq {\frac {p_{1}a_{1}+\cdots +p_{n}a_{n}}{P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7f23e3af9175afda02ca8504381cc04a9eb599)
![{\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{\sum {\frac {x_{i}^{\alpha }}{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c052a85441542a039654d7aef4f992be76aa222)
