גז אולטרה-יחסותי

גז אולטרה-יחסותיאנגלית: Ultra-relativistic Gas) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.

באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:

כאשר  הוא התנע של החלקיק,  מסת המנוחה שלו, ו- מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים , ועל כן האנרגיה שלו היא:

כאשר הוא קבוע פלאנק המצומצם.

משתנים תרמודינמייםעריכה

נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל   חלקיקים בנפח  , המצומד למאגר חום בטמפרטורה   (כאשר  , ו-  הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות   הוא  , כאשר   צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:

 

מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:

 

כאשר  .

פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:

 

מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:

האנרגיה הפנימית:  

האנרגיה החופשית של הלמהולץ:  

כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג.

האנטרופיה:  

הלחץ:  

ניתן לשים לב שמתקיים:

 

(כאשר  )

אפקטים קוונטיים בגזעריכה

בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו-  הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .

לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:

 

כאשר   היא פונקציית גמא,   הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו-  .

גז פרמיונים אולטרה-יחסותיעריכה

בגבול   (גז פרמיונים מנוון)עריכה

בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי ( ) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:

 

כאשר   היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש-  . לכן:

 

כאשר תנע פרמי   הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה  . עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:

 

ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:

 

 

בטמפרטורה כלליתעריכה

האנרגיה הפנימית מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות  , כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.

הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא  

 

מספר החלקיקים:

 

בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:

 

(  היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ללחץ:

 

כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם  , ניתן לקבל את הקשר  , כאשר   היא האנטרופיה. מכאן:

 

גז בוזונים אולטרה-יחסותיעריכה

לאנרגיה הפנימית ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.

הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא:  

 

 
האנרגיה כתלות בטמפרטורה של גז בוזונים וגז פרמיונים, עבור המקרה של פוטנציאל כימי אפס

כאשר בוצעה החלפת משתנים  . באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור מספר החלקיקים:

 

 

נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:

 

(  היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

כדי לקבל את הלחץ:

 

וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:

 

חשיבות המודלעריכה

התפשטות היקום המוקדםעריכה

למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח  , וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:

משתנים תרמודינמיים עבור בוזונים ופרמיונים,  
בוזונים פרמיונים
אנרגיה פנימית    
מספר חלקיקים    
לחץ    
אנטרופיה    

כאשר   היא פונקציית זטא של רימן.

היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים  . כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר  . מכאן ניתן לרשום:

 

כאשר   הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.

יציבות של ננסים לבניםעריכה

נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.

לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:

 

(כאשר  )

פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:

 

מכיוון ש-   (כאשר   המספר האטומי של האטומים בכוכב,   מספר המסה שלהם,   הצפיפות של הננס הלבן ו-   מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:

 

 

הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:

 

כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.

לקריאה נוספתעריכה

ביבליוגרפיהעריכה

  • Pathria, R.K; Beale, Paul D., Statistical Mechanics, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
  • Blundell, S.; Blundell, K., Concepts in Thermal Physics (2006), Oxford University Press