גידול של חבורה

גידול של חבורה הוא האופן שבו חבורה, בדרך כלל אינסופית, מכוסה על ידי מילים הולכות ומתארכות בקבוצת יוצרים נתונה.

פונקציית הגידול והקצבעריכה

תהי G חבורה הנוצרת על ידי קבוצת יוצרים סופית, X. בדרך כלל מניחים שהקבוצה סימטרית להיפוך. מסמנים ב-  את קבוצת האיברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר   איברים של  . פונקציית הגידול המתאימה ל-X היא הפונקציה  . כאשר G אינסופית, זוהי פונקציה עולה ממש. מגדירים יחס שקילות על הפונקציות העולות, לפיו   אם יש קבוע c כך ש- , וגם להפך. כל פונקציות הגידול של אותה חבורה שקולות זו לזו.

לחבורה נוצרת סופית יש פונקציית גידול פולינומי אם ורק אם היא נילפוטנטית-למעשה (virtually nilpotent). מכאן נובע שבמקרה כזה המעלה של פונקציית הגידול היא מספר שלם. המספר   הוא קצב הגידול המעריכי (ביחס ל-X). הקצב הוא 1 כאשר פונקציית הגידול היא תת-מעריכית. יש חבורות שקצב הגידול שלהן ביחס לכל קבוצת יוצרים X גדול מ-1, אבל האינפימום שווה ל-1. אם האינפימום של הקצבים האלה גדול מ-1, החבורה היא בעלת גידול מעריכי. לדוגמה, לחבורה חופשית (לא אבלית) יש גידול מעריכי. בחבורה לא אמנבילית קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.

טור הילברטעריכה

תהי f פונקציית הגידול של החבורה ביחס לקבוצת יוצרים סופית X. טור הילברט של החבורה (ביחס ל-X) הוא טור החזקות  . הטור מעניין במיוחד כאשר הוא מייצג פונקציה רציונלית במשתנה x. חבורה נקראת 'פאן-רציונלית' אם טור הילברט שלה רציונלי ביחס לכל קבוצת יוצרים. החבורות הבאות ידועות כפאן-רציונליות:

לחבורת באומסלג-סוליטר  יש גידול רציונלי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית. עם זאת, לחבורת הייזנברג מסדר 5 טור הילברט טרנסצנדנטי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית[3].

בכל חבורה עם גידול רציונלי, בעיית המילה פתירה. מאידך, יש חבורות פתירות (עם  ) שבהן בעיית המילה אינה פתירה (Kharlampovich 1981), וממילא עם פונקציית גידול שאינה רציונלית.

טור הילברט מוגדר גם עבור חבורה למחצה; עבור חבורה למחצה עם יחס אחד, הוא רציונלי (Backelin).

ראו גםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ M. Benson, Growth series of finite extensions of ℤnare rational, Inventiones mathematicae 73, 1983-06-01, עמ' 251–269 doi: 10.1007/BF01394026
  2. ^ Moon Duchin, Michael Shapiro, The Heisenberg group is pan-rational, Advances in Mathematics 346, 2019-04-13, עמ' 219–263 doi: 10.1016/j.aim.2019.01.046
  3. ^ Michael Stoll, Rational and transcendental growth series for the higher Heisenberg groups, Inventiones mathematicae 126, 1996-09-01, עמ' 85–109 doi: 10.1007/s002220050090