גנוס (גאומטריה אלגברית)

בגאומטריה אלגברית ובגאומטריה אריתמטית, הגנוס של עקום (מרוכב) הוא הגנוס של היריעה שהעקום מגדיר כמשטח רימן. הגנוס הוא מדד מספרי למורכבות העקום, בעיקר דרך הטריכוטומיה: הספירה של רימן היא בעלת גנוס g=0, עקומים בעלי גנוס g=1 הם עקומים אליפטיים, ולעקומים אחרים g>1.

גנוס של שדה פונקציות

משטח רימן אפשר לתאר על ידי שדה הפונקציות שלו, שהוא שדה מדרגת טרנסצנדנטיות 1 מעל המרוכבים. גם להפך, שדה מהצורה $\ \mathbb {C} (z,w)$, כאשר w תלוי ב-z, מגדיר משטח רימן, והגנוס של השדה מוגדר כגנוס של המשטח. משטח המוגדר על ידי משוואה מהצורה $\ w^{2}=f(z)$, כאשר f הוא פולינום, נקרא עקום היפר-אליפטי, והגנוס שלו שווה לחלק השלם של $\ {\frac {\deg(f)-1}{2}}$. מאי-שוויון רימן נובע שכל עקום מגנוס 1 (ולכן כל שדה פונקציות מגנוס 1) מוגדר על ידי משוואה מהצורה $\ w^{2}=(z-a)(z-b)(z-c)$, ולכן הוא עקום אליפטי. בדומה לזה, כל עקום מגנוס 2 הוא היפר-אליפטי; אבל טענה זו אינה נכונה לגנוס גבוה יותר.

הגנוס בגאומטריה אריתמטית

הטריכוטומיה שהוזכרה לעיל מתבטאת באופי השונה של בעיות אריתמטיות על-פי הגנוס של המשוואות המעורבות. לעקומים מגנוס 0 יש פרמטריזציה מלאה, ועקומים מגנוס 1 הם אליפטיים. השערת מורדל קובעת שלכל עקום אלגברי מגנוס גדול מ-1 מעל שדה מספרים, יש מספר סופי של נקודות רציונליות.

מקורות

• Harvey Cohn, Introduction to the construction of class fields, פרק 5.

ראו גם

• גנוס (טופולוגיה)