עקום אלגברי

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, עקום אלגברי הוא יריעה אלגברית (או באופן כללי יותר סכמה) מממד 1. בדרך כלל דורשים שעקום יהיה בלתי-פריק. אם לא דורשים זאת אז דורשים שכל רכיבי האי-פריקות שלו יהיו חד-ממדיים. עקום שלם הוא תמיד פרויקטיבי.

למרות פשטותם היחסית, המחקר של עקומים אלגבריים הוא עשיר ומאתגר. משפטים רבים בגאומטריה אלגברית הוכחו תחילה עבור עקומים ואחר כך הוכללו עבור יריעות כלליות. במקרים רבים הוכחת המשפט לעקומים שונה מאוד מהרדוקציה מיריעה כללית לעקום. בהרבה מקרים ההוכחה לעקומים מתבססת על חישובים מפורשים בעוד שהרדוקציה למקרה של עקום מתבססת על כלים כלליים של גאומטריה אלגברית.

עקומים חלקים

חוג הקואורדינטות של עקום אלגברי חלק הוא חוג דדקינד. לכן (בהקשר הרחב יותר של סכמות) חקר של עקומים אלגבריים אפיניים חלקים שקול לחקר חוג דדקינד. לכל עקום אלגברי חלק יש קומפקטיפיקציה (זאת אומרת עקום שלם המכיל אותו כתת-קבוצה פתוחה צפופה) חלקה יחידה. לכן ניתן למיין עקומים אלגבריים חלקים באמצעות עקומים חלקים שלמים. באופן מפורש יותר, כדי לתאר עקום חלק, צריך לתאר עקום חלק שלם ולהוציא ממנו קבוצה סופית של נקודות.

עקומים שלמים חלקים

כשמתעניינים בעקומים מעל שדה, יש מיון ידוע של עקומים חלקים שלמים. האינווריאנט הממיין הראשי של עקומים כאלה הוא הגנוס. במקרה $k=\mathbb {C}$ המרחב $X(\mathbb {C} )$ הוא משטח טופולוגי סגור אורינטבילי, והגנוס של $X$ הוא הגנוס של $X(\mathbb {C} )$ כמשטח טופולוגי. מזה נובע שמחלקת הדיפאומורפיזם של $X(\mathbb {C} )$ תלויה רק בגנוס של $X$ אם $X$ הוא עקום שלם חלק מרוכב. בהינתן גנוס קבוע $g$ יש מבנה של יריעה אלגברית (ליתר דיוק של סטק דלין ממפורד) על אוסף כל מחלקות האיזומורפיזם של עקומים מגנוס $g$.

יש עקום יחיד מגנוס 0. הוא הישר הפרויקטיבי. זה העקום החלק השלם היחיד המהווה יריעת פאנו. עקומים מגנוס 1 נקראים עקומים אליפטיים. יש משפחה חד-פרמטרית של עקומים כאלה (הפרמטר נקרא אינווריאנט $j$ של העקום והוא רץ ב-$k$). לעקומים אליפטיים מקום מיוחד בחקר העקומים ובגאומטריה אלגברית בכלל. על כל עקום אליפטי (בעל נקודה) יש מבנה של חבורה אלגברית. חבורת האוטומורפיזם של עקום אליפטי (כשחושבים עליו כיריעה) היא הרחבה סופית של העקום עצמו (כשחושבים עליו כחבורה). עקומים אליפטיים הם העקומים החלקים השלמים היחידים המהווים יריעות קאלאבי-יאו.

עקום אלגברי שלם חלק שהתפרסם בזכות הקשר שלו למשפט פרמה הוא עקום פרמה.

הספירה של רימן: יצוג גאומטרי של הישר הפרויקטיבי המרוכב. הישר הפרויקטיבי הוא עקום אלגברי החלק השלם היחיד מגנוס 0

טורוס - משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 1. אם $X$ הוא עקום אליפטי (עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 1) אז $X(\mathbb {C} )$ דיפאומורפי לטורוס.

משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 2. אם $X$ הוא עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 2 אז $X(\mathbb {C} )$ דיפאומורפי למשטח זה.

משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 3. אם $X$ הוא עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 3 אז $X(\mathbb {C} )$ דיפאומורפי למשטח זה.

החלק האפיני שני עקומים אליפטיים ממשיים משוכנים במישור. כפי שניתן לראות, יריעות הנקודות הממשייות של עקומים אלו אינן דיפיאומורפיות. אולם יריעות הנקודות המרוכבות שלהם דיפאומורפיות

פעולת החיבור על עקום אליפטי המשוכן במישור. סכום של כל 3 נקודות על אותו ישר הוא 0. הנקודה באינסוף היא-0. (נקודה זאת לא מופיעה בציור, מכיוון שהוא מציג רק את החלק האפיני (וגם לא את כולו).

עקומים סינגולריים

אם העקום אינו חלק אז כל הסינגולריות שלו מבודדות. לכן נהוג לחקור עקומים לא חלקים רק מקומית בסביבת הסינגולריות. אין מיון מלא של כל הסינגולריות האפשריות של עקומים, אבל בהנחות מסוימות על הסינגולריות לעיתים קיים מיון. אחד הדברים שמקלים על המיון הזה היא העובדה שעקום נורמלי הוא תמיד חלק. לכן נורמליזציה של עקום מהווה התרת סינגולריות קנונית שלו.

עקומים מישוריים

עקום מישורי אפיני הוא עקום השוכן במישור האפיני כתת-קבוצה סגורה. עקום כזה תמיד ניתן להגדרה על ידי משוואה אחת (משני משתנים). המעלה של המשוואה הזאת נקראת המעלה של העקום. באופן דומה עקום מישורי פרויקטיבי ממעלה $k$ הוא עקום במישור הפרויקטיבי הנתון על ידי משוואה הומוגנית אחת ממעלה $k$ משלושה משתנים. אוסף כל העקומים המישוריים הפרויקטיביים ממעלה $d$ הוא מרחב פרויקטיבי ממד

$${\frac {(d+1)(d+2)}{2}}-1$$

ניתן לחלק מרחב זה לתתי יריעות לפי הטיפוסים השונים של העקומים. מיון של עקומים מישוריים ממעלה נתונה איננו משימה פשוטה. מנקודת מבט מודרנית, מבין כל משימות מיון העקומים המישוריים, קל יותר למיין עקומים מישוריים פרויקטיביים מעל שדה סגור אלגברית (למשל שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$). ולכן בדרך כלל מתחילים במקרה זה, אחר כך מנסים לעדן את המיון שיתאים לשדות אחרים (למשל שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$) ולמקרה האפיני. אולם, היסטורית, שדה המרוכבים והגאומטריה הפרויקטיבית התפתחו מאוחר, לכן עקומים ממעלה נמוכה נחקרו תחילה במקרה הממשי האפיני.

עקומים מישוריים ממעלה 1 הם ישרים. אפשר לראות במיון של עקומים מישוריים ריבועיים כנקודת ההתחלה של הגאומטריה האלגברית, הוא היה ידוע עוד ביוון העתיקה. במקרה האפיני הממשי הם:

עקומים מישוריים ריבועיים והקשרים ביניהם

את כל העקומים המישוריים הריבועיים הממשיים האפיניים בעלי הנקודות מלבד "זוג ישרים מקבילים" ניתן לקבל מחיתוך של חרוט על ידי מישור

• פרבולה (איזומורפית לישר)
• היפרבולה (איזומורפית לישר בלי נקודה)
• אליפסה (איזומורפית למעגל)
• שני ישרים מקבילים
• שני ישרים נחתכים
• מעגל עם רדיוס 0 (יריעה בעלת נקודה ממשית 1)
• מעגל עם רדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשית כלל)
• זוג ישרים מקבילים מדומים (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
• ישר אחד (כפול).

המקרה הפרויקטיבי המרוכב פשוט יותר. יש רק שני סוגים של עקומים כאלה: ישר פרויקטיבי וזוג ישרים פרויקטיבים נחתכים.

המיון של עקומים מישוריים ממעלה שלישית מסובך בהרבה, הוא התבצע באופן חלקי על ידי ניוטון ובאופן מלא על ידי פלוקר וכלל למעלה מ-100 מקרים. בשונה ממעלות נמוכות יותר, יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של כאלה עקומים. אולם, במקרה הפרויקטיבי המרוכב ניתן לתאר את כל העקומים האלה בקלות יחסית:

עקומים מישוריים ממעלה 3 והקשרים ביניהם

• עקומים חלקים: אלה בדיוק העקומים האליפטיים. יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של עקומים כאלה, אך יריעות הנקודות שלהם הומיאומורפיות.
• עקום נודלי: עקום בלתי-פריק עם סינגולריות נודלית. סינגולריות נודלית היא סינגולריות הנראית (מקומית בטופולוגית אטל או האנליטית) כמו זוג ישרים נחתכים. הנורמליזציה של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי. אפשר לתאר את החלק האפיני של העקום על ידי המשוואה

$$y^{2}=x^{2}\cdot (x+1)$$

למשל. עקומים נודליים (לצד ניוונם - עקומים קספידיים) הם העקומים המישוריים הרציונליים ממעלה 3. זאת אומרת, עקומים שיש להם פרמטריזציה על ידי זוג פולינומים ממעלה 3. מסיבה זאת הם שימושיים בגרפיקה וקטורית. מושג ה-cubic spline מבוסס על עקומים אלה. כאשר מציגים עקום בגרפיקה וקטורית באמצעות cubic spline, מחלקים אותו למקטעים המהווים עקום נודלי. אומנם עקומים נודליים מכילים חיתוכים עצמיים, חיתוכים אלה נמצאים בדרך כלל מחוץ למקטעים, ולכן לא מופיעים ב-spline.

• עקום קספידלי: עקום בלתי פריק עם סינגולריות יחידה בצורת חוד. גם הנורמליזציה של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי. אפשר לתאר את החלק האפיני של העקום על ידי המשוואה
  $$y^{2}=x^{3}$$

למשל.

• ישר ועקום (בלתי-פריק) ממעלה 2 הנחתכים בשתי נקודות. עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים הנחתכים בשתי נקודות.
• ישר ועקום (בלתי-פריק) ממעלה 2 המשיקים בנקודה אחת. עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים המשיקים בנקודה אחת.
• שלושה ישרים הנחתכים ב-3 נקודות.
• שלושה ישרים הנחתכים בנקודה אחת.
• שני ישרים נחתכים (אחד מהם כפול).
• ישר אחד (מריבוי 3).

הגנוס של עקום מישורי פרויקטיבי חלק ממעלה $d$ הוא

$$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$$

ראו גם

• עקום אליפטי
• יריעה אלגברית
• עקום (מתמטיקה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא עקום אלגברי בוויקישיתוף

• עקום אלגברי, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הרצאות על עקומים אלגברים
• עקומה אלגברית, דף שער בספרייה הלאומית