פתיחת התפריט הראשי

בתחומים מדעיים רבים, ובפרט בפיזיקה ובכימיה, דרגות החופש של מערכת נתונה הן קבוצה של פרמטרים עצמאיים המתארים, עבור מודל מתמטי מסוים, את כלל המצבים בהם יכולה להימצא המערכת. כלומר, מצב המערכת תלוי (לפי המודל) אך ורק בערכם של פרמטרים הללו, וניתן לשנות כל אחד מהם, כך שהאחרים יישארו קבועים. בניסוח יותר פורמלי, מספר דרגות החופש של מערכת הוא מספר הערכים הבלתי-תלויים (המינימלי) המאפשר לתאר את מצבה באופן חד חד ערכי.

מקורו של המושג בסטטיסטיקה,[דרוש מקור] שם הוא משמש באופן טכני יותר לתיאור מספר הפרמטרים המעורבים בקביעת התפלגות, או מספר המשתנים החופשיים בחישוב. בהשאלה, המונח "מספר דרגות החופש" משמש בכל תחומי המדע, במשמעות דומה לזו של ממד מתמטי או ממד פיזיקלי.

דוגמאותעריכה

 
6 דרגות חופש של תנועת חלקיק במרחב

במכניקה קלאסית, כדי לתאר באופן שלם את תנועתו של חלקיק, יש צורך בשלושה רכיבי מקום (בקואורדינטות קרטזיות), ובשלושה רכיבי מהירות. אם כל אלה בלתי תלויים זה בזה, אומרים שלחלקיק יש 6 דרגות חופש. משמעות הדבר היא שבהינתן ששת המספרים הללו ברגע נתון, ניתן לקבוע את ערכם בכל רגע אחר. לכן, למכל גז שיש בו N חלקיקים, יש 6N דרגות חופש - 6 לכל חלקיק. העובדה שהחלקיקים חסומים בתחום מרחבי מסוים אינה פוגעת במספר דרגות החופש. לעומת זאת, חלקיק שתנועתו מוגבלת על ידי משוואות, מפסיד דרגות חופש. לכן, בפועל ניתן לתאר (בקירוב) מערכות הבנויות ממספר רב של חלקיקים בעזרת מספר מצומצם של דרגות חופש. למשל, לכלי רכב יבשתי יש 4 דרגות חופש (שתיים לתיאור המקום, ושתיים לתיאור המהירות), ואילו לעץ תפוחים הנטוע במקום אחד יש רק שתי דרגות חופש. לדיסקית במשחק הוקי קרח יש 5 דרגות חופש: 4 לתיאור המקום והתנועה על המשטח הדו-ממדי, ועוד אחת לתיאור תנועת הסיבוב של הדיסקית סביב עצמה.

בתורת היחסות הכללית, משפט העדר השיער קובע כי צופה לחור שחור יציב יש שלוש דרגות חופש: מסה, תנע זוויתי, ומטען חשמלי.

במקרים רבים, מספר דרגות החופש תלוי בחלק של המערכת שאותו מבקשים לתאר. לדוגמה, כדי להבין תאונת דרכים, ייתכן שיש צורך במשתנים רבים, בנוסף למקום ולמהירות: לחץ האוויר בכל גלגל, המסה הכוללת, הטמפרטורה, ועוד. אם מבקשים לדייק, מספר דרגות החופש מתאר את המודל המתמטי של המערכת הפיזיקלית (ובפרט, את החלק שאותו מעוניינים למדל, ולא את המערכת הפיזיקלית כולה).

דרגות חופש בסטטיסטיקהעריכה

בסטטיסטיקה, מספר דרגות החופש הוא מספר הערכים המשתתפים בחישוב של ביטוי סטטיסטי (כגון אומדן לפרמטרים של מודל) שהם חופשיים להשתנות.

לדוגמה, במחלה מסוימת חולים גברים ונשים, ומעוניינים לדעת מה ההסתברות שחולה מסוים שנבחר באופן מקרי מאוכלוסיית החולים הוא גבר, וגם מה ההסתברות שחולה מסוים הוא אשה. ניתן לאמוד את ההסתברות הראשונה על ידי חלוקת מספר הגברים באוכלוסייה (או במדגם) בגודל האוכלוסייה (או המדגם) הכולל. באותו אופן ניתן לאמוד את ההסתברות השנייה על ידי חלוקת מספר הנשים באוכלוסייה בגודל האוכלוסייה. עם זאת, ברור כי סכום שתי ההסתברויות שווה ל-1, ולכן ברגע שבו נאמדה אחת משתי ההסתברויות נקבע האמדן להסתברות המשלימה. מכאן שבאמידת שתי הסתברויות אלה יש רק דרגת חופש אחת.

מושג דרגות החופש בסטטיסטיקה הועלה לראשונה ב-1825 על ידי גאוס בהקשר של שיטת הריבועים הפחותים[1][2]. ההגדרה המודרנית נוסחה על ידי ויליאם סילי גוסט (תחת שם העט "סטודנט") ב-1908, בהקשר של התפלגות t[3]. המונח עצמו הופיע לראשונה במאמר של רונלד פישר מ-1922 שעסק בהתפלגות חי בריבוע בהקשר של בדיקת השערת אי תלות בלוחות שכיחות[4].

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Gauss, C. F., Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate, Berlin: P. Stankiewicz, 1877. (בגרמנית)
  2. ^ Walker, Helen M, Degrees of Freedom, Journal of Educational Psychology, 4 31, 1940, עמ' 253
  3. ^ Student, The Probable Error of a Mean, Biometrica, 1 6, 1908, עמ' 1-25 doi: 10.2307/2331554
  4. ^ Fisher, R. A., On the Interpretation of χ2 from Contingency Tables, and the Calculation of P, Journal of the Royal Statistical Society, 1 85, עמ' 87-94 doi: 10.2307/2340521