נתונים מדגם
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})}
פונקציית נראות
L
(
X
;
θ
)
{\displaystyle L(\mathbf {X} ;\theta )}
פרמטר
θ
{\displaystyle \theta }
השערות פשוטות: השערת האפס ,
H
0
:
θ
=
θ
0
{\displaystyle H_{0}\,:\theta =\theta _{0}}
H
1
:
θ
=
θ
1
{\displaystyle H_{1}\,:\theta =\theta _{1}}
מבחן יחס הנראות , שאזור הדחייה שלו הוא:
R
k
=
{
X
:
L
(
X
;
θ
1
)
L
(
X
;
θ
0
)
>
k
α
}
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{k}=\left\{\mathbf {X} :{\frac {L(\mathbf {X} ;\theta _{1})}{L(\mathbf {X} ;\theta _{0})}}>k_{\alpha }\right\}}
מבחן בעל העוצמה הגדולה ביותר (Uniformly Most Powerful; UMP) מבין כל המבחנים ברמת מובהקות
α
{\displaystyle \alpha }
Pr
(
X
∈
R
k
)
=
α
{\displaystyle \operatorname {Pr} (\mathbf {X} \in {\mathcal {R}}_{k})=\alpha }
H
0
{\displaystyle H_{0}}
למעשה, פעמים רבות ניתן למצוא מבחן שקול (כלומר, בעל אותו אזור דחייה), שסטטיסטי המבחן שלו פשוט יותר – ראו דוגמה להלן.
דיאגרמת ון הממחישה את ההוכחה ללמה של ניימן ופירסון: אזורי הדחייה אם מתקיימת השערת האפס אזורי הדחייה אם מתקיימת ההשערה האלטרנטיבית יהי
R
N
P
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{NP}}
R
N
P
=
{
X
:
L
(
X
;
θ
1
)
L
(
X
;
θ
0
)
>
k
α
}
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{NP}=\left\{\mathbf {X} :{\frac {L(\mathbf {X} ;\theta _{1})}{L(\mathbf {X} ;\theta _{0})}}>k_{\alpha }\right\}}
ויהי מבחן אחר בעל אותה רמת מובהקות, שאזור הדחייה שלו,
R
A
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{A}}
R
N
P
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{NP}}
Pr
(
X
∈
R
N
P
)
=
Pr
(
X
∈
R
A
)
=
α
{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\mathbf {X} \in {\mathcal {R}}_{NP}\right)=\operatorname {Pr} \left(\mathbf {X} \in {\mathcal {R}}_{A}\right)=\alpha }
H
0
{\displaystyle H_{0}}
נוסחת ההסתברות השלמה קובע כי לכל
θ
{\displaystyle \theta }
Pr
θ
(
R
N
P
)
=
Pr
θ
(
R
N
P
∖
R
A
)
+
Pr
θ
(
R
N
P
∩
R
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\right)=\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)+\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\cap {\mathcal {R}}_{A}\right)}
Pr
θ
(
R
A
)
=
Pr
θ
(
R
A
∖
R
N
P
)
+
Pr
θ
(
R
N
P
∩
R
A
)
{\displaystyle \ \ \operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\right)=\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)+\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\cap {\mathcal {R}}_{A}\right)}
ולכן,
Pr
θ
(
R
N
P
∖
R
A
)
−
Pr
θ
(
R
A
∖
R
N
P
)
=
[
Pr
θ
(
R
N
P
)
−
Pr
θ
(
R
N
P
∩
R
A
)
]
−
[
Pr
θ
(
R
A
)
−
Pr
θ
(
R
N
P
∩
R
A
)
]
=
Pr
θ
(
R
N
P
)
−
Pr
θ
(
R
A
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)-\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)&=\left[\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\right)-\color {magenta}{\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\cap {\mathcal {R}}_{A}\right)}\right]-\left[\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\right)-\color {magenta}{\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\cap {\mathcal {R}}_{A}\right)}\right]\\&=\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\right)-\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\right)\end{aligned}}}
(1)
θ
=
θ
0
{\displaystyle \theta =\theta _{0}}
Pr
θ
0
(
R
N
P
∖
R
A
)
−
Pr
θ
0
(
R
A
∖
R
N
P
)
=
Pr
θ
0
(
R
N
P
)
−
Pr
θ
0
(
R
A
)
=
α
−
α
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)-\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)&=\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\right)-\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{A}\right)\\&=\ \alpha -\alpha \\&=0\end{aligned}}}
כלומר:
Pr
θ
0
(
R
N
P
∖
R
A
)
=
Pr
θ
0
(
R
A
∖
R
N
P
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)=\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)}
(2)
Pr
θ
1
(
R
N
P
)
>
Pr
θ
1
(
R
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\right)>\operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{A}\right)}
(1) נובע כי לשם כך מספיק להוכיח כי
Pr
θ
1
(
R
N
P
∖
R
A
)
>
Pr
θ
1
(
R
A
∖
R
N
P
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)>\operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)}
R
N
P
∖
R
A
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}}
L
(
X
;
θ
1
)
>
k
α
L
(
X
;
θ
0
)
{\displaystyle L(\mathbf {X} ;\theta _{1})>k_{\alpha }\ L(\mathbf {X} ;\theta _{0})}
Pr
θ
1
(
R
N
P
∖
R
A
)
>
Pr
θ
0
(
R
N
P
∖
R
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)>\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)}
(3)
באופן דומה, בתוך
R
A
∖
R
N
P
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}}
Pr
θ
1
(
R
A
∖
R
N
P
)
<
Pr
θ
0
(
R
A
∖
R
N
P
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)<\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)}
(4)
Pr
θ
1
(
R
N
P
∖
R
A
)
>
(
3
)
Pr
θ
0
(
R
N
P
∖
R
A
)
=
(
2
)
Pr
θ
0
(
R
A
∖
R
N
P
)
>
(
4
)
Pr
θ
1
(
R
A
∖
R
N
P
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)&{\overset {(3)}{>}}\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)\\&{\overset {(2)}{=}}\operatorname {Pr} _{\theta _{0}}\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)\\&{\overset {(4)}{>}}\operatorname {Pr} _{\theta _{1}}\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {L(\mathbf {X} ;\theta _{1})}{L(\mathbf {X} ;\theta _{0})}}&={\frac {{\cancel {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-1\right)^{2}\right)}{{\cancel {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}^{2}\right)}}\\&={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left({X_{i}}^{2}-2X_{i}+1\right)\right)}{\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}^{2}\right)}}\\&=\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left({\cancel {{X_{i}}^{2}}}-2X_{i}+1-{\cancel {{X_{i}}^{2}}}\right)\right]\\&=\exp \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n/2}{\sigma ^{2}}}\right)\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d417556e1d163a6b348bdaa2369951f9ced784)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\backslash {\mathcal {R}}_{A}\right)-\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\backslash {\mathcal {R}}_{NP}\right)&=\left[\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\right)-\color {magenta}{\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\cap {\mathcal {R}}_{A}\right)}\right]-\left[\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\right)-\color {magenta}{\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\cap {\mathcal {R}}_{A}\right)}\right]\\&=\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{NP}\right)-\operatorname {Pr} _{\theta }\left({\mathcal {R}}_{A}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd20dd674066b92cd32f72c1ec984f5ec3c56d5)
