שונות

מונח מרכזי בהסתברות וסטטיסטיקה

בתורת ההסתברות וסטטיסטיקה, שׁוֹנוּת (סימון: מהמילה האנגלית Variance) היא מדד לפיזור ערכים באוכלוסייה נתונה ביחס לתוחלת שלה. מושג זה הוצג לראשונה על ידי רונלד פישר בשנת 1918.

באופן אינטואיטיבי, השונות היא המרחק (הריבועי) הממוצע של כל ערך, מהממוצע של כל הערכים. כלומר, אם השונות שווה אפס, כל הערכים זהים. ככל שהערך השונות עולה, כך הערכים "מפוזרים" יותר. מכיוון שהשונות מודדת מרחק, ערכה תמיד יהיה אי-שלילי.

השונות מוגדרת עבור משתנה רציף ועבור משתנה בדיד, וניתן לחשב אותה באופן תאורטי מפונקציית ההסתברות או לחשב אותה ביחס לאוכלוסייה או למדגם נתונים. יש התפלגויות (כגון התפלגות קושי) שהתוחלת שלהן אינה מוגדרת; וכאלה שהתוחלת שלהן מוגדרת, אבל השונות אינה מוגדרת.

היות שיחידות השונות הן ריבוע יחידות האוכלוסייה, דבר המקשה על השוואת גדלים, נעשה שימוש גם במושג סטיית תקן, השווה לשורש השונות, ומציג את הפיזור הממוצע ביחידות המקוריות.

הגדרהעריכה

השונות של המשתנה המקרי  , בדיד או רציף, מוגדרת כתוחלת של ריבוע המרחק מן המשתנה לתוחלת שלו:

 

מפיתוח אלגברי קצר נקבל:

 

כל זאת בתנאי שהאינטגרלים או הסכומים המעורבים בחישוב מתכנסים.

תזכורת:   היא התוחלת של המשתנה  .

חישוב שונותעריכה

משתנה מקרי בדידעריכה

בהינתן פונקציית הסתברות בדידה x1p1, ..., xnpn ניתן לחשב את ערך השונות לפי הנוסחה:  .

מדגם סופיעריכה

בהינתן אוכלוסייה בגודל N נוכל לחשב את השונות על ידי לקיחת הסתברות אחידה:

 

כאשר

  הוא ערך התוחלת.

משתנה מקרי רציףעריכה

בהינתן פונקציית הסתברות רציפה, חישוב השונות נתון על ידי

 

כאשר   הוא ערך התוחלת

 

כאשר האינטגרל מחושב על פני כל מקור פונקציית ההסתברות, במקרה של תומך חסום על פני כל ערכי התומך.

דוגמאותעריכה

התפלגות נורמליתעריכה

ההתפלגות נורמלית עם הפרמטרים μ ו-σ היא התפלגות רציפה עבורה פונקציית צפיפות ההסתברות נתונה על ידי:

 

כאשר μ הוא התוחלת, ערך השונות נתון על ידי:

 

חישוב אינטגרל זה על הפונקציה המכונה גאוסיין ניתן לביצוע באמצעות אינטגרלים כפולים ומעבר לקואורדינטות קוטביות. להתפלגות הנורמלית תפקיד מכריע בעולם ההסתברות עקב משפט הגבול המרכזי.

התפלגות מעריכיתעריכה

התפלגות מעריכית עם הפרמטר λ ו-σ היא התפלגות רציפה עבורה תומך חצי אינסופי (הישר האי שלילי) פונקציית צפיפות ההסתברות נתונה על ידי:

 

ערך התוחלת שלה נתון על ידי μ = λ−1. ערך השונות נתון על ידי:

 

לכן עבור משתנה מקרי המתפלג באופן מעריכי σ2 = μ2.

התפלגות פואסוןעריכה

התפלגות פואסון עם הפרמטר λ היא התפלגות בדידה עבור אינדקס k מספר טבעי א-שלילי, פונקציית הסתברות עבור k נתונה על ידי:

 

ערך התוחלת הוא μ = λ. ערך השונות נתון על ידי:

 

לכן עבור משתנה מקרי המתפלג פואסון σ2 = μ.

התפלגות בינוםעריכה

ההתפלגות הבינומית עם הפרמטרים n ו-p היא התפלגות בדידה, המוגדרת לפי  . ערך התוחלת הוא μ = np. ערך השונות הוא  .

הטלת מטבעעריכה

התפלגות בינומית עם מקדם   מתארת את ההסתברות לקבלת   עץ מתוך   הטלות. לכן ערך התוחלת של כמות העצים שהתקבלו נתונה על ידי:  , וערך השונות על ידי:  .

קובייה הוגנתעריכה

ניתן למדל הטלת קובייה הוגנת בעלת 6 צדדים על ידי משתנה מקרי בדיד המקבל ערכים בין 1 ל-6, בהסתברות שווה והיא  . ערך התוחלת הוא: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5. ולכן נחשב את השונות להיות

 

במקרה הכללי- משתנה מקרי X בעל התפלגות שווה   אשר מקבל את הערכים הטבעיים בין 1 ל-n. נחשב את השונות על ידי:

 

תכונותעריכה

  • השונות תמיד אי שלילית  
  • השונות של משתנה מקרי שווה לאפס אם ורק אם המשתנה המקרי מקבל ערך קבוע בהסתברות 1
  • השונות של טרנספורמציה ליניארית על המשתנה המקרי   היא:   כאשר  הם קבועים ממשיים.
  • השונות של סכום משתנים מקריים   היא:  
  • השונות (Variance) שווה לשונות המשותפת (Covariance) של המשתנה עם עצמו:  .

כאשר cov היא השונות המשותפת של המשתנים  , יש לציין כי השונות המשותפת של שני משתנים מקריים שווה לאפס במקרה ואין תלות בין המשתנים. ניתן להרחיב את התכונה לחישוב שונות סכום משתנים מקריים כך:

 

  • אם   משתנים מקריים, והשונות של   סופית, אפשר לפרק את השונות של   באופן הבא:

  (ראו גם משפט השונות השלמה).

שונות האוכלוסייה ושונות המדגםעריכה

שונות האוכלוסייהעריכה

עבור אוכלוסייה סופית (שהתפלגותה אינה ידועה) ניתן לחשב את השונות בעזרת הנוסחה:

 

  - ממוצע האוכלוסייה.
  - מספר האיברים באוכלוסייה.

נוסחה שימושית לחישוב שונות האוכלוסייה:

 

שונות המדגםעריכה

בהינתן מדגם מקרי פשוט   אם נסתכל על המדגם עצמו כעל אוכלוסייה בפני עצמה, אז שונות המדגם נתונה על ידי הנוסחה:   .

שונות המדגם היא אומד מומנטים עבור שונות האוכלוסייה. בהתפלגות הנורמלית שונות המדגם היא גם אומד נראות מרבית עבור שונות האוכלוסייה.

אומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייהעריכה

כאשר נתון מדגם מקרי פשוט   ניתן לאמוד את שונות האוכלוסייה על ידי הנוסחה:   ; בתנאים רגילים, זהו אומד בלתי מוטה. אם הנתונים מעוגלים בזמן המדידה, יש להפעיל את תיקון שפרד. עקב היותו אומד חסר הטיה, אומד זה הוא המקובל בשימוש בתחום הסטטיסטיקה.


נוסחה שימושית אחרת לחישוב האומד לשונות:  .

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא שונות בוויקישיתוף