פתיחת התפריט הראשי

המחט של בופון

המחט המסומנת באות a חוצה את הפס, בעוד מחט b מצויה בין שני פסים

במתמטיקה, בעיית המחט של בופון היא שאלה שהוצגה לראשונה על ידי ז'ורז'-לואי לקלר דה בופון ב-1733:

נניח שיש לנו רצפה עשויה רצועות מקבילות של עץ, כל אחת ברוחב זהה, ונפיל מחט על הרצפה. מה ההסתברות כי המחט תנוח על הקטע שבין שתי רצועות?

בעיה זו הייתה הדוגמה הראשונה בגאומטריה הסתברותית. באמצעות הפתרון לבעיה ניתן לחשב את פאי בשיטת מונטה קרלו, אם כי ברור למדי שבופון עצמו לא ערך ניסויים מעין זה.

פתרוןעריכה

ניסוח הבעיהעריכה

נתונה מחט באורך  , אשר נופלת על משטח בעל קווים מקבילים במרחק  , מהי ההסתברות כי המחט תחצה את הקו?

פתרוןעריכה

 
על מרכז x נמצאת מחט אדומה ומחט כחולה. המחט האדומה נמצאת באזור האפור ולכן היא עוברת את הקו משמאל.

יהי   המרחק בין מרכז המחט לקו הקרוב ביותר, תהי   הזווית החדה שבין המחט לקו.

המחט תעבור את הקו אם יתקיים:  

למחט קטנה, כאשר   יתקיים[1]:   ובחישוב האינטגרל נקבל:  

במקרה ש  :  

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא המחט של בופון בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה