הסכוליום הכללי

הסכוליום הכללי הוא חיבור אשר כתב אייזיק ניוטון כחלק מספרו ה"פרינקיפיה מתמטיקה" – עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע. החיבור פורסם לראשונה עם צאת המהדורה השנייה של הפרינקיפיה בשנת 1713. חיבור זה פורסם כתגובה לביקורות שהושמעו עם צאת המהדורה הראשונה משנת 1687 של הפרינקיפיה ובו הגן ניוטון על מסקנתו שבין כל שתי מסות בעולם פועל כוח משיכה מרכזי. בנוסף, הסביר שהתיאוריות האחרות ובראשן תאוריית המערבולות של דקארט וממשיכיו אינן תקפות, תיאר בקצרה את גישתו לפילוסופיית הטבע ואת הסבריו אודות כוח הכבידה האוניברסלי ואת מקומו של האל כחלק מפילוסופיה זו. החיבור כלל את אימרתו המפורסמת של ניוטון "אינני בודה השערות" כתגובה לביקורות מצד ממשיכי רנה דקארט אשר הושמעו על ניסוחיו אודות המשיכה הגראוויטציונית ככוח שניוטון עצמו לא ידע להסביר את סיבתו.

הסכוליום הכללי
Scholium Generale

מידע כללי
מאת	אייזק ניוטון
שפת המקור	לטינית
סוגה	מסה
הוצאה
תאריך הוצאה	1713

הקשר היסטורי - הסברים קרטזיאנים אודות תנועת הפלנטות והכבידה

מערכת המערבולות על פי רנה דקארט

בראשית המאה ה-17 הגישה הרווחת בפילוסופיית הטבע היית קרטזיאנית (מבוססת על גישתו של רנה דקארט). דקארט האמין כי ניתן להסביר את העולם כולו בעזרת חומר בתנועה בלבד. מבחינתו, כל גוף המצוי בתנועה בקו ישר ימשיך בתנועתו עד אשר יתנגש בגוף אחר, על כן כל שינוי בתנועה הוא תוצר של התנגשויות בין גופים. בהתייחס לתנועת הפלנטות תמך דקארט בטיעון כי חומר שהיה מצוי במצב של תנועה יסודית התגבש לכדי מערכת של מערבולות מסביב לפלנטות ובכך הכניס את הגופים השמימיים לתנועה במסלולם, עוד טען כי ההתנגשויות בין הפלנטות לאֶתֶר כתוצאה מתנועת המערבולות היא השומרת את הפלנטות סביב השמש מבלי שהן מתרחקות ממנה, כאשר במשך שנים נחשב האתר לחומר הממלא את כל המרחב ומהווה למעשה תווך להתנגשויות אלה. בכך מבחינת דקארט, התקיימה הפרדה בין הכוח המניע את הפלנטות לבין כוח הכבידה הפועל על גופים כבדים בארץ. על פי דקארט, כוח הכבידה על כדור הארץ נוצר בשל התנגשויות דומות, כאשר אם לפלנטה יש כוח צנטריפוגלי רב יותר או פחות יותר, היא תידחף למערבולות הגבוהה או הנמוכה הסמוכה, כאשר המצב השני יאפיין את תכונת ה"כבדות" של עצמים כבדים הנופלים אל קרקע הארץ.

"הכוכבים, כולל הארץ, מסתובבים סביב השמש במערבולת הסולרית שלנו. ישנם אינספור מערבולות דומות ביקום: כל כוכב אותו אנו רואים בשמיים, על פי דקארט, הוא עצמו שמש במרכזה של מערבולת משל עצמו."

— מחוללים מהפכה במדע: ידע אירופי במעבר, 1500–1700, פטר דיר, מהדורה שלישית, עמוד 94

מבין ממשיכיו הבולטים של דקארט, ניתן למנות את כריסטיאן הויגנס אשר הושפע גם מה בגישה המתמטית-פיזיקלית לפילוסופיית הטבע בסגנון גלילאו גלילאי וניסח גישה משלו המבוססת על ניסוחי דקארט. בהתייחסו לכבידה, שיער הויגנס כי קיימים חלקיקים תת-מיקרוסקופיים אשר מסתובבים מסביב לארץ במהירות גבוהה ובכל מישורי הסיבוב לקראת המרכז. הויגנס הבין את ההאצה הגרביטציונית אל עבר מרכז כדור הארץ כפי שזו מופיעה בגופים רגילים כנובעת מכוחות צנטריפוגליים של החלקיקים הקטנים עצמם – כאשר החלקיקים נעו החוצה, חומר רגיל בהתאמה נע פנימה בכדי לפנות מקום. הויגנס המשיך וחישב את המהירויות הנחוצות של אותם חלקיקים המצוים בתנועה סיבובית, כך שהתאוצה הגרביטציונית לקראת מרכז כדור הארץ המוצגת על ידי תנועת גופים, תתאים לממצאים האמפיריים. דרך הסברים אלו הציגו דקארט וממשיכיו גישה מכניסטית לפיה העולם הוא מכונה המורכבת מחלקים נעים אותם ניתן להבין ולהסביר, גישה זו זכתה לפופולריות רבה והיית לגישה המובילה במאה ה-17.

דחיית תאוריית המערבולות בסכוליום הכללי

כיסוי שטח בעת תנועת כוכב לכת על פי יוהנס קפלר

בפתיחת הסכוליום הכללי, יוצא ניוטון נגד ההסבר המכניסטי של דקארט בדבר תנועת המערבולות. על פי ניוטון, סימון רדיוס מכל פלנטה אל עבר השמש יניב בהכרח יחס פרופורציונלי לזמני המחזור של תנועות חלקי המערבולת וזמני המחזורים של חלקי המערבולת חייבים להיות ריבוע המרחק אל השמש. בכך מתבסס ניוטון על חוק התנועה השני של יוהנס קפלר המנסח כי כאשר פלנטה נעה במסלול סביב השמש, ווקטור הרדיוס יכסה שטחים שווים בזמנים שווים על היקף אליפסה. על פי ניוטון, לא קיימת התאמה בין יחסי שטח הרדיוסים סביב הפלנטות לבין זמן המחזור הצפוי לפי הנחת המערבולות, התנועות הסיבוביות של השמש והפלנטות היו צריכות להיות בהתאמה לתנועות המערבולות שלהן באופן יחסי, אך התאמה זו איננה קיימת. בנוסף טען ניוטון כי פלנטות נעות בכוחות אקסצנטריים אשר לא יכולים להתקיים כל עוד נניח כי קיימות מערבולות.

"ההיפותזה בדבר מערבולות סובלת מקשיים רבים. אם בעזרת ציור רדיוס אל עבר השמש, כל פלנטה אמורה לתאר שטח יחסי לזמן, הזמנים המחזוריים של חלקי המערבולת חייבים להתאים לריבועי המרחק מן השמש... שביטים נעים בתנועות מאוד אקסצנטריות לכל כיווני השמיים, תנועות אלה לא יכולות להתרחש אלא אם מבטלים את המערבולות."

המקור בלטינית

Hypothesis vorticum multis premitur difficultatibus. Ut planeta unusquisque radio ad solem ducto areas describat tempori proportionales, tempora periodica partium vorticis deberent esse in duplicata ratione distantiarum a sole... Feruntur cometæ motibus valde eccentricis in omnes cœlorum partes, quod fieri non potest, nisi vortices tollantur.

— אייזק ניוטון, הסכוליום הכללי

בכדי לחזק את טיעונו, התייחס ניוטון לשביטים וטען כי הם נעים באופן אקסצנטרי ולכל הכיוונים ובאופן מהיר וחופשי דרך מסלולי הפלנטות תוך חציית המערבולות:

"וכלל התנועות הרגילות הללו אינן נובעות מסיבות מכניות היות ששביטים נעים באופן חופשי ובמסלולים אקסצנטריים ולכל כיווני השמיים. ועם התנועות הללו השביטים חוצים באופן מהיר את מסלולי הפלנטות..."

המקור בלטינית

Et hi omnes motus regulares originem non habent ex causis mechanicis; siquidem cometæ in orbibus valde eccentricis, & in omnes cœlorum partes libere feruntur. Quo motus genere cometæ per orbes planetarum celerrime & facillime transeunt...

— אייזק ניוטון, הסכוליום הכללי

למעשה ניוטון מזהה כי התחזיות העולות מהתיאוריה המכניסטית של דקארט, אינן תואמות לתצפיות ומכאן הבסיס לשלילת התיאוריה של דקארט. ניוטון יכול היה להסתפק בהצעת ההסבר החלופי אותו הוא מציע בפרינקיפיה, אך בתיאוריה שלו היית בעיתיות, כפי שעלתה בביקורות עם צאת המהדורה הראשונה של הפרינקיפיה – ניוטון תיאר הסבר לא מכניסטי בו כוחות פועלים מרחוק ואת מקור הכוחות הללו – הכבידה, ניוטון לא ידע להסביר. מכיוון שלא היה יכול להסביר את כוח הכבידה ומקורו, ניוטון בחר להתמקד בבעייתיות של התיאוריה האלטרנטיבית ועל כן דחה את תאוריית המערבולות המתחרה.

הביקורות על הפרינקיפיה מתמטיקה

עם צאת המהדורה הראשונה של הפרינקיפיה מתמטיקה, ניוטון נאלץ להתמודד עם ביקורת רבה, הדמות המדעית המובילה ביבשת למשל, כריסטיאן הויגנס, פרסם ב-1690 תגובה חצויה לעבודתו של ניוטון כתוספת להדפסה מחודשת של מאמרו "דיון על הסיבה לגרביטציה" אשר הוצג לראשונה באקדמיה הצרפתית למדעים בשנת 1669. מצד אחד, היה משוכנע כי טיעונו של ניוטון בדבר היחס ההופכי לריבוע הגרביטציוני אשר משפיע על הירח הוא נכון ואף כי הוא נמצא בהתאמה לכוח הצנטריפטלי המחזיק את הפנלטות במסלולן. מצד שני טען הויגנס:

"איני מסכים לגמרי עם העיקרון שהוא (ניוטון) מניח בחישוביו, כי כל החלקיקים הקטנים אותם אנו יכולים לדמיין בשניים או יותר גופים שונים נמשכים אחד אל השני או נוטים להמשך באופן הדדי. בכך איני יכול להודות היות שאני מאמין כי אני רואה בבירור כי הגורם למשיכה שכזו אינו ניתן להסבר באמצעות עקרון מכני או בעזרת חוקי התנועה. וכן איני משוכנע כלל בנחיצותה של משיכה הדדית בין גופים שלמים, לאחר שהראיתי שאם אין כדור הארץ, גופים לא יפסיקו לנטות לעבר מרכז בגלל מה שאנו מכנים כוח המשיכה שלהם."

— מחוללים מהפכה במדע: ידע אירופי במעבר, 1500–1700, פטר דיר, מהדורה שלישית, עמוד 149

ביקורת נוספת על עבודתו של ניוטון פורסמה בכתב העת Journal des sçavans :

"עבודתו של מר. ניוטון היא מכנית, המושלמת ביותר שכל אחד יכול לתאר, שכן לא ניתן לתת הדגמות מדויקות יותר מאלה שהוא מספק בשני ספריו הראשונים... אך חייבים להודות כי לא ניתן להתייחס להדגמות אלה בשום דרך אחרת פרט למכניות; ואכן הכותב מכיר בעובדה... כי הוא לא התייחס לעקרונות הללו בתור פיזיקאי, אלא רק כגאומטריקאי... בכדי להפוך את האופוס הנ"ל למושלם ככל הניתן, על ניוטון לספק לנו פיזיקה מדויקת כמו המכניקה שלו. הוא יספק הסבר זה לאחר שיחליף תנועות אמיתיות במקום אלה שכבר תיאר."

— מחוללים מהפכה במדע: ידע אירופי במעבר, 1500–1700, פטר דיר, מהדורה שלישית, עמוד 153

ובנוסף לביקורות אלה, כשנה וחצי לאחר פרסום המהדורה הראשונה של הפרינקיפיה, גוטפריד וילהלם לייבניץ פרסם את "חיבור אודות הסיבות לתנועות השמימיות" בו תיאר תאוריית מערבולות מתחרה המבוססת על תנועה 'קפלריאנית' (מבוססת על עבודתו של יוהנס קפלר) שהיית למעשה תואמת למסקנה של ניוטון עצמו כי כוחות צנטריפטליים בתנועה קפלריאנית נעות ביחס שהוא ההופכי לריבוע. בין השאר, הביקורות הללו אילצו את ניוטון להתמודד עם ביקורת על עבודתו ולחדד את טיעוניו נגד ההיתכנות של תאוריית המערבולות.

ההסברים הפיזיקליים־מתמטיים בפרינקיפיה מתמטיקה והמתודולוגיה של ניוטון

רעיונותיו של ניוטון אודות הכבידה נבעו מעיסוקו בשאלה שניסח גלילאו גלילאי בשנת 1632 – אם כדור הארץ מסתובב על צירו, כיצד גופים על פני השטח לא נוטים לעוף כלפי חוץ, בדיוק כפי שהיה מתרחש על פני השטח של גלגל כדרים? אחת מבדיקותיו הראשונות של ניוטון הייתה ניתוח של התנועה המעגלית של הירח סביב כדור הארץ, היות שידע להעריך את מהירות הירח וכן את המרחק המשוער, במונחים של רדיוסי ארץ, מכדור הארץ. אם הירח מתנהג באותו האופן שבו גוף שקרוב לפני השטח של כדור הארץ היה מתנהג, והנטייה הצנטריפוגלית היית מאוזנת בעזרת הנטייה הכבידתית אל עבר כדור הארץ, אזי הנוסחה שניוטון הציג כי כוח הכבידה הפועל על הירח נחלש מהכוח שניתן למדוד על פני השטח של כדור הארץ, ביחס הפוך לריבוע המרחק ממרכז הארץ (רדיוס כדור הארץ לעומת רדיוס מסלול הירח). זהו חוק ריבועי הפוך, לפיו כוח הכבידה נחלש ביחס ישר לריבוע המרחק:

${\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {1}{R^{2}}}$

כאשר r הוא רדיוס כדור הארץ ו־R הוא רדיוס מסלול הירח

לאחר שנים, טען ניוטון כי זנח חישוב זה היות שהנתונים בהם השתמש הפרו את היחס בין ההופכי לריבוע והתופעות הנצפות. עם זאת, הוא לעולם לא פסל את נכונות הקביעות שלו בדבר נוסחאות אלה שכן המסקנות ב-1667–1666 לא היו ברורות מכיוון שנתוני תאוצת הנפילה ותאוצת הירח הובילו לסטייה של 10%, וחישוביו האחרים התבססו על קירוב של תנועות מעגליות. על כן קביעותיו של ניוטון היו למעשה השערות עבודה אליהן לא התייחס כאמיתיות עד ששב לבעיה בסוף שנות השבעים, כנראה בעקבות חילופי המכתבים עם רוברט הוק, ועוד בטרם כתיבת הפרינקיפיה. לאחר שהחל לעבוד על כתיבת הפרינקיפיה, ניסח ניוטון ביתר בירור ולעומת עבודתו של דקארט כי אין שום צורך במגע ישיר בין גופים בכדי להעביר פעולה מגוף לגוף. ניוטון עסק ב'כוחות' שיכולים להשפיע על גוף ולשנות את מהירותו או כיוונו אך לא ראה צורך להציג מנגנון מכני כדי להסביר כיצד כוחות אלה פועלים או כדי להסביר מה מקורם. על כך קיבל ביקורות רבות אשר טענו כי הכניס "כוחות לא מוסברים" למדע ובכך גם היווה את האסכולה המתחרה לגישה הקרטזיאנית המבוססת על הסברים מכניסטיים בדבר חומרים נעים ומתנגשים. בניגוד לגישתם של לייבניץ ודקארט המבוססת על דדוקציה, ניוטון האמין בגישה אינדוקטיבית לעשייה המדעית המכונה הגישה ההיפוטטית דדוקטיבית. לפיה יש קודם כל לצפות בתופעות ורק לאחר מכן יש לנסח חוקים כלליים ולא ההפך. על כך טען ניוטון בסכוליום הכללי כי הוא אינו בודה השערות – “Hypotheses non fingo”.

"אך טרם עלה בידי להסיק את תכונות הכבידה מן התופעות ואינני בודה השערות. מה שאין להסיקו מן התופעה בהכרח יקרא השערה; והשערות, בין אם הן מטאפיזיות, פיזיות, בעלות תכונות נסתרות או מכניות, אין מקום להן בפילוסופיה הניסויית."

המקור בלטינית

Rationem vero harum Gravitatis proprietatum ex Phænomenis nondum potui deducere, & Hypotheses non fingo. Quicquid enim ex Phænomenis non deducitur, Hypothesis vocanda est; & Hypotheses seu Metaphysicæ, seu Physicæ, seu Qualitatum occultarum, seu Mechanicæ, in Philosophia Experimentali locum non habent.

— אייזק ניוטון, הסכוליום הכללי

עוד כותב ניוטון כי בתהליך זה הצליח להסיק את חוקי התנועה והכבידה תוך התבססות על תצפיות מדויקות ומהן הסקת מסקנות וניסוח החוקים:

"בפילוסופיה זו, ניתן להסיק מסקנות מן התופעות והן מוכללות באמצעות אִכלול. כך התגלו האטימות, הניידות והמתקף של גופים וחוקי התנועה והכבידה. ולנו הדבר מספיק שהכבידה אכן קיימת ופועלת על פי חוקים אשר הסברנו, והיא מספיקה [על מנת לתת הסבר] לכל תנועות גרמי השמים והים שלנו."

המקור בלטינית

In hac philosophia propositiones deducuntur ex phænomenis, & redduntur generales per inductionem. Sic impenetrabilitas, mobilitas, & impetus corporum & leges motuum & gravitatis innotuerunt. Et satis est quod gravitas revera existat, & agat secundum leges a nobis expositas, & ad corporum cælestium & maris nostri motus omnes sufficiat.

— אייזק ניוטון, הסכוליום הכללי

תאולוגיה ומקומו של האל בפילוסופיית הטבע של ניוטון

ניוטון הסביר כי המערכת הפילוסופית אשר הוא מציע איננה יכולה להתקיים ללא הכוונה של ישות אינטליגנטית ריבונית. זהו אל ריבון יודע הכל, שולט בכל וכל יכול. הוא איננו הנצח או האינסוף, אלא נצחי ואינסופי וכן נמצא בכל זמן ובכל מקום. כל שידוע לאדם עליו הוא דרך רעיונות עליו ותכונותיו, אך אין האדם יכול להבין מה הוא חומר האלוהים. בכדי להדגים את תבוניות הישות הריבונית, מסביר ניוטון כי אם מרכזי כוכבים אחרים הם מרכזים של מערכות שונות – כלל המערכות נתונות לשליטת הריבון האלוהי, שהניח אותן במרחק רב זו מזו כדי שלא יפלו זו על זו. על פי ניוטון, יש לנו יכולת אפיסטמית לתפוס את האלוהים וללמוד עליו דרך התבוננות על התופעות בעולם, מן התופעות הללו אנו יכולים ללמוד על טבעו ורצונו של האלוהים ומכאן שעל פי ניוטון, האל הוא חלק מהפילוסופיה הטבעית.

"כל הגיוון בדברים שנוצרו, כל אחד במקומו וזמנו, יכלו לנבוע אך ורק מרעיונות ומרצון של ישות אשר קיימת בהכרח, אך על האל נאמר אלגורית כי הוא רואה, שומע, מדבר, צוחק, אוהב, שונא, חושק, נותן, מקבל, כועס, נלחם, בונה, יוצר ובונה... ולהתייחס לאל מתוך התופעות זה בהכרח חלק מפילוסופיית הטבע."

המקור בלטינית

Tota rerum conditarum pro locis ac temporibus diversitas, ab ideis & voluntate entis necessario existentis solummodo oriri potuit. Dicitur autem deus per allegoriam videre, audire, loqui, ridere, amare, odio habere, cupere, dare, accipere, gaudere, irasci, pugnare, fabricare, condere, construere... Et hæc de deo, de quo utique ex phænomenis disserere, ad philosophiam naturalem pertinet.

— אייזק ניוטון, הסכוליום הכללי

לקריאה נוספת

• I. Bernard Cohen, Anne Whitman, The Principia: The Authoritative Translation and Guide

Mathematical Principles of Natural Philosophy, University of California Press, 1999

• P. Dear, Revolutionizing the Sciences: European Knowledge in Transition, 1500–1700, 20029

קישורים חיצוניים

• [1], באתר (Stanford Encyclopedia of Philosophy)