פתיחת התפריט הראשי
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב.[1] המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

ניסוח המשפטעריכה

נוסח ראשון: יהי   מרחב הסתברות, ותהי   קבוצה בת-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.[2]

נגדיר "מאורע זנב"   להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך  .[3]

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב  , מתקיים   או  .

נוסח שני: יהי   מרחב הסתברות, ותהי   קבוצה בת-מניה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-  ובלתי-תלויות.[4]

עבור  , נגדיר  , ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב,  .[5] מאורעות   מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע   מתקיים   או  .

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת  , כלומר   היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה   מדיד.

הוכחהעריכה

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

למה: תהי   אלגברה של קבוצות על  . תהי  .

אזי לכל  , לכל   קיימת  , כך שמתקיים  .

הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את  , ולכן היא מכילה את  .

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור   נגדיר  , ונגדיר  . נשים לב כי   היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים  .

בהינתן מאורע  , מהלמה נובע כי לכל   יש מאורע   שעבורו מתקיים  , כלומר  .

יהי   שעבורו  . נשים לב כי  , ולכן   בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי  .

אבל   שרירותי, ולכן נובע כי  , כלומר   או  .

דוגמאותעריכה

נתבונן במרחב  , עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה   (כאשר   הוא הקואורדינטה ה-  של  ), עבור   כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות   לכל   ולכל  . ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור   נגדיר  , ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים  .

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:

  •  
  •  
  •   לאיזשהו  

היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטליעריכה

באופן כללי יותר, אם   אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע   הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור   מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות  .

לקריאה נוספתעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
  2. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית  , לכל קבוצת מאורעות  , מתקיים כי  .
  3. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית  , עבור  , מתקיים כי  .
  4. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית  , לכל קבוצת מאורעות  , מתקיים כי  .
  5. ^ חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.