חלחול (תהליך)

חִלחול (או פרקולציה) היא תיאוריה במכניקה סטטיסטית ומתמטיקה העוסקת בהיווצרות אשכולות בגרפים מקריים ובסריגים. במהלך חמשת העשורים האחרונים, מודל מתמטי נרחב של תהליך החלחול, הביא לתובנות וטכניקות חדשות במגוון תחומים רחב ביניהם: פיזיקה, הנדסת חומרים, רשתות מורכבות, אפידמיולוגיה וכן בגאוגרפיה.

פרקולציית אתר בשלושה ממדים כאשר הנקודות הכחולות הם אתרים מאולכסים.

אחד מהגורמים להתפתחות תאוריית החלחול בעשורים האחרונים הוא שהרבה מודלים של חלחול טרם נפתרו אנליטית, אולם השימוש במחשבים בפיזיקה ומתמטיקה ובפרט השימוש באנליזה נומרית וסימולציות הוביל לקבלת תוצאות חדשות שדחפו את התחום קדימה.

ייחוד התיאוריה היא בפשטות הגדרתה ובמגוון היישומים שלה בתחומים שונים. הסיבה לפשטותה בין היתר היא שתופעות כמו מעברי פאזה (שבירת סימטריה) מתגלות באופן טבעי וללא פיתוח רב.

נהוג להבחין בין שני סוגים של פרקולציה: פרקולציית קשר בה מייחסים להיווצרות הקשר בין שני אתרים הסתברות $p$, ופרקולציית אתר בה מייחסים לאכלוס האתר עצמו הסתברות $p$.

בנוסף, נמצא שהגדלים המרכזיים בתאוריית הפרקולציה הם אוניברסליים במובן שהם אמנם תלויים במימד של הסריג אבל אינם תלויים בסוג הסריג, תכונה חשובה המעידה על עקביות התיאוריה.

מודל פרקולצית אתר במימד אחד

סריג חד־ממדי עם שישה אתרים בו האתרים האדומים מאוכלסים. בסריג זה שני אשכולות: הראשון בגודל 3 שכולל את אתרים 1-3 והשני בגודל 2 שכולל את אתרים 5-6. נשים לב שהאתר הרביעי לא מאוכלס, ועל כן אין אשכול מחלחל (כי אין רצף אתרים מאוכלסים סמוכים מאתר 1 עד אתר 6).

מודל הפרקולציה במימד אחד פשטני ביותר, אך מדגים באופן יחסית פשוט מושגים בסיסיים שמופיעים גם בממדים גבוהים יותר.

במודל זה מסתכלים על סריג חד־ממדי, סופי או אינסופי כך שלכל אתר בסריג יש הסתברות $p$ להיות מאוכלס והסתברות $1-p$ לא להיות מאוכלס. בנוסף, אכלוס האתרים בלתי תלוי אחד בשני. אשכול מוגדר להיות קבוצה של אתרים מאוכלסים שסמוכים זה לזה כאשר גודל האשכול הוא מספר האתרים בתוך אשכול. על פי ההגדרה אתר מאוכלס הוא בהכרח חלק מאשכול (שגודלו 1 לפחות).

בעזרת ההגדרות לעיל ניתן לחשב את ההסתברות $p$ שמעליה ייווצר בפעם הראשונה אשכול שעובר מצד אחד של הסריג לצד שני (ומכאן מקור השם חלחול). הסתברות זו נקראת הסתברות קריטית (או סף פרקולציה) שמסומנת ב-$p_{c}$ (נשים לב ש-$p_{c}$ לא מוגדר היטב עבור סריג סופי כי גם עבור הסתברות שקרובה מאוד ל-1 יכול להיות אתר לא מאוכלס).

במימד אחד כדי שייווצר "אשכול מחלחל" הוא חייב להיפרס מ-$-\infty$ עד ל-$\infty$. אם נסמן את ההסתברות שייווצר אשכול מחלחל בסריג באורך $L$ עם הסתברות אכלוס $p$ ב-$\Pi (p,L)$ אז יתקיים לפי הגדרה ש:

$\lim _{L\to \infty }\Pi (p,L)=\left\{{\begin{array}{lr}0&p<p_{c}\\1&p\geq p_{c}\end{array}}\right.$

מצד שני, בסריג באורך אינסופי $L\rightarrow \infty$:

$\lim _{L\to \infty }\Pi (p,L)=\lim _{L\to \infty }p^{L}=\left\{{\begin{array}{lr}0&p<1\\1&p=1\end{array}}\right.$

ולכן $p_{c}=1$ כצפוי. כאמור תוצאה זו התקבלה כי המודל מאוד פשטני, ובממדים גבוהים יותר יתאפשר לבחון את תכונות הסריגים בתחום $p>p_{c}$.

ההסתברות לקבל אשכול בגודל 4 היא מכפלה של ההסתברות שארבעה אתרים סמוכים יהיו מאוכלסים בהסתברות ששני האתרים הקיצוניים לא יהיו מאוכלסים.

הגדרה חשובה נוספת היא מספר האשכול $n_{s}(p)$ (Cluster number density) המתארת את ההסתברות שאתר כלשהו מהסריג כולו יהיה אתר מסוים מתוך האתרים שמרכיבים אשכול בגודל s. מכאן נובע שההסתברות שאתר יהיה שייך לאשכול בגודל $s$ היא: $n_{s}(p)*s$ (מכפילים ב-s כי יש s אפשרויות להיות אתר באשכול בגודל s). בשימוש נוסחת ההסתברות השלמה ניתן גם להגיע לתוצאה: $\sum _{s=1}^{\infty }sn_{s}(p)=p$.

הביטוי למספר האשכול בסריג במימד אחד הוא (ראו איור משמאל):

$n_{s}(p)=(1-p)p^{s}(1-p)=(1-p)^{2}p^{s}=(1-p)^{2}*e^{ln(p^{s})}=(1-p)^{2}*e^{sln(p)}\equiv (1-p)^{2}*e^{-s/s_{\xi }}$

כאשר נוספה הגדרה חדשה - cutoff cluster: $s_{\xi }={\frac {-1}{ln(p)}}$. נשים לב שגודל זה מתבדר כש-$p\to p_{c}=1$ וכדי לראות את "עוצמת ההתבדרות" נהוג לרשום את התוצאה כקירוב בפיתוח טיילור כאשר $p\to p_{c}$ :$s_{\xi }\simeq {\frac {1}{p_{c}-p}}$.

במימד אחד האקספוננט של $(p_{c}-p)$ הוא $-1$ אך לא כך הדבר בממדים אחרים, ולכן מגדירים את האקספוננט הקריטי $\sigma$: $s_{\xi }\propto |p_{c}-p|^{-1/\sigma }$.

לרוב נרצה לעשות סקאלינג לגדלים חדשים שנמצא, כלומר לתאר אותם כחוק חזקה כמו ש-$s_{\xi }$ תואר.

פרקולציה בסריג בתה (Bethe)

סריג בתה עם 3=Z שכנים לכל אתר. המספרים של האתרים מסמנים את הדור שלהם

מודל הפרקולציה בסריג בתה שימושי לתיאור פרקולציה במימד אינסופי בגלל שתי התכונות הבאות:

1. בסריג קובייתי אוקלידי במימד אינסופי, היחס בין מספר האתרים במעטפת למספר האתרים הכולל שואף למספר קבוע. בסריג בתה, אם קוראים לקבוצת האתרים שבאותו מרחק מהראשית "דור" (ראו איור) אז ניתן להראות שכשהדור שואף לאינסוף היחס בין האתרים על המעטפת למספר האתרים הכולל גם הוא שואף למספר קבוע.
2. בסריג קובייתי אוקלידי במימד אינסופי, ההסתברות ללולאות סגורות שואף לאפס ובסריג בתה זה מתקיים באופן ישיר עקב מבנה העץ שלו.

בנוסף ניתן לראות כי פרקולציה בסריג חד־ממדי שקולה לפרקולציה בסריג בתה עם $Z=2$.

כעת נשאלת השאלה מהי ההסתברות הקריטית $p_{c}$ בה ייווצר לראשונה אשכול מחלחל?

אם נתחיל מהאתר המרכזי וננוע החוצה בכל צעד ניתקל בעוד $z-1$ שכנים חדשים. תנאי הכרחי לקבלת אשכול מחלחל הוא שבממוצע לפחות אחד מ-$z-1$ האתרים השכנים בכל צעד יהיה מאוכלס כלומר $p*(z-1)\geq 1$, ולכן סף הפרקולציה יתקבל כאשר יש שוויון: $p_{c}={\frac {1}{Z-1}}$. מיד ניתן לשים לב שבמקרה החד־ממדי כש $z=2$ מקבלים $p_{c}=1$ כפי שהוכחנו, ולדוגמה במקרה ש-Z=3 מקבלים $p_{c}={\frac {1}{2}}$.

יתר על כן, במודל זה הטווח $p>pc$ קיים בניגוד למודל החד־ממדי.

מעבר פאזה בסריג בתה עם Z=3

ישנם מספר גדלים שמתאימים לתיאור של מעבר פאזה בסריג. אחד מהם הוא הגודל $P(p)$ שנקרא החוזק של אשכול אינסופי (או פרמטר סדר), והוא ההסתברות שאתר מסוים שייך לאשכול אינסופי.

נתחיל מהאתר המרכזי. נסמן ב-$Q$ את ההסתברות שאתר לא מחובר לאינסוף בכיוון כלשהו ומכאן שההסתברות שהוא לא מחובר לאינסוף משום כיוון היא $Q^{z}$ כאשר $Z$ הוא מספר השכנים בסריג. מכאן ברור שההסתברות שהוא כן מחובר לאינסוף היא $1-Q^{z}$. לבסוף מתייחסים להסתברות שגם הוא עצמו מאוכלס, ואם כך מתקבל שההסתברות שאתר מסוים שייך לאשכול אינסופי היא: $P(p)=p*(1-Q^{z})$.

נותר לגלות מהו $Q(p)$. נניח שהתקדמנו מהמרכז לאורך ענף מסוים והגענו לאתר כלשהו. ההסתברות שהענף הזה אינו מגיע לאינסוף היא: או שהאתר לא מאוכלס בהסתברות $(1-p)$ או שהוא מאוכלס אבל כל הענפים שלו (בגלל שהוא לא האתר המרכזי אז יש לו $z-1$ ענפים) לא מובילים לאינסוף בהסתברות $pQ^{z-1}$ ובסך הכל $Q=(1-P)+pQ^{z-1}$.

הפתרון של משוואה זו הוא: $Q=\left\{{\begin{array}{lr}1&p<p_{c}\\{\frac {1-p}{p}}&p>p_{c}\end{array}}\right.=\left\{{\begin{array}{lr}1&p<{\frac {1}{2}}\\{\frac {1-p}{p}}&p>{\frac {1}{2}}\end{array}}\right.$. נשים לב שתוצאה זו מאוששת ש-$p_{c}={\frac {1}{2}}$ כש-Z=3.

מעבר הפאזה של פרמטר הסדר בסריג בתה עם Z=3.

כעת כשנציב את הגודל חזרה אל $P(p)$ נקבל ש-$P(p)=\left\{{\begin{array}{lr}0&p<p_{c}\\p(1-({\frac {1-p}{p}})^{3})&p>p_{c}\end{array}}\right.$.

נשים לב שמתחת לערך של $p_{c}$ תכונת החוזק נעלמת לגמרי בעוד שמעל $p_{c}={\frac {1}{2}}$ היא שונה מאפס.

כמו כן אפשר לראות ש-$\lim _{p\to p_{c}^{+}}P(P)=0=\lim _{p\to p_{c}^{-}}P(P)$, ולמעבר פאזה כזה קוראים מעבר פאזה מסדר ראשון.

לבסוף כש-$p\to p_{c}={\frac {1}{2}}$ האיבר המוביל מתכונתי ל-$(p-p_{c})^{\beta }$ כאשר $\beta$ הוא אקספוננט קריטי נוסף שבמקרה זה ערכו הוא 1.

אפשר להשתמש בפרקולציה במודל בתה כאנלוגיה למעבר פאזה שרואים בחומרים מגנטיים. בחומר מגנטי, פרמטר הסדר הוא המגנטיזציה הספונטנית ליחידת ספין המסומנת ב-m שעבור $T>T_{c}$ הוא אפס ועבור $T<T_{c}$ שונה מאפס כאשר הטמפרטורה הקריטית היא טמפרטורת קירי. האנלוגיה לא שלמה במקרה זה כי האקספוננט הקריטי $\beta$ בפרומגנטים איננו 1.

פיתוח יותר מדויק ניתן לעשות עם פרקולציה במודל פוטס (Potts).

תיאור תכונות אלסטיות

ניתן להקנות לסריג תכונות אלסטיות כך שכל חיבור בין שני אתרים (שנקרא קשר) ייצג אלמנט אלסטי באופן לוקאלי, ובכך לתאר גדלים כמו מודל יאנג.

אם נסתכל על סריג דו־ממדי עם שטח חתך $A=L^{2}$ הנמצא במישור $X-Y$ ואורך $L$ בציר Z, על פי מודל יאנג יתקיים הקשר:

$F_{z}={\frac {EA}{L}}\Delta L={\frac {EL^{2}}{L}}\Delta L=L^{d-2}E\Delta L$

כאשר הכללנו את המשוואה ל-d ממדים. כעת ניתן להגדיר את הגודל $K=L^{d-2}E$ בתור מקדם ההעברה (באנ' compliance).

כאשר $p<p_{c}$ אין מסלול שמחבר צד אחד עם צד שני של הגביש (אין רצף אלסטי בין הצדדים), ולכן ניתן למתוח את הסריג ללא השקעת כוח כלומר $K=0$ כאשר $p>p_{c}$ יהיה לפחות אשכול מחלחל אחד ולכן הגודל $K$ לא יהיה אפסי. בנוסף במצב זה ניתן להגיע גם לחוק חזקה עבור E כך שמקבלים:

$\left\{{\begin{array}{lr}0&p<p_{c}\\(p-p_{c})^{\tau }&p>p_{c}\end{array}}\right.$$E\propto {}$.

נשים לב שזה מזכיר מעבר פאזה בין מוצק לנוזל בו עבור מצב נוזל מודל יאנג הוא אפס, ועבור מוצק מקבל ערך חיובי.

את האקספוננט הקריטי $\tau$ מחשבים בעזרת חישוב נומרי ולמשל בדו מימד סריג ריבועי אפשר להגיע להערכה $3.41\leq \tau \leq 3.77$.

הגדרת האנטרופיה והחוק השני של התרמודינמיקה

על מנת להשתמש בתאוריית הפרקולציה לתיאור תופעות תרמודינמיות, עולה הצורך להגדיר את מקביליהם של הגדלים הבסיסיים בתרמודינמיקה כמו טמפרטורה ואנטרופיה. מוטיבציה נוספת להגדרת האנטרופיה היא שפרמטר הסדר, $P(p)$ מתאפס בכל התחום $0<p\leq p_{c}$, ומתבקש למצוא גודל שיתאר את רמת "אי-הסדר" בתחום בו $P(p)=0$. במקרה של פרקולציה, הגדרה מתאימה תהיה אנטרופיית שאנון $H(p)=-\sum _{i}^{m}\mu _{i}log\mu _{i}$ כאשר הגודל $\mu _{i}$ הוא ההסתברות שאתר יהיה שייך לאשכול באינדקס i. קרי, אם עבור הסתברות אכלוס $p$ יש $i=1,2,...,m$ אשכולות שונים בגדלים $s=s_{1},s_{2},...,s_{m}$ בהתאמה אז $\mu _{i}={\frac {s_{i}}{\sum _{i=1}s_{i}}}$(כאשר נזכור שגם אתר בודד נחשב אשכול בגודל 1).

נשים לב למספר תכונות ומסקנות חשובות שנובעות ההגדרת האנטרופיה:

1. עבור $p=0$ כל האשכולות הם אתרים בודדים, לכן$\mu _{i}={\frac {1}{N}}$ כאשר N הוא מספר האתרים, ועבור הסתברות זו האנטרופיה $H=log[N]$ מקסימלית.
2. עבור $p=1$ כל האתרים שייכים לאשכול יחיד, לפיכך $\mu _{i}=1$, וזה גורר שהאנטרופיה $H=0$ מינימלית.
3. משתי התכונות הקודמות טבעי להגדיר את הטמפרטורה כ $1-p$, ואכן נמצא שאם הטמפרטורה $1-p$ גדלה אז האנטרופיה גדלה כלומר הגדרת האנטרופיה בפרקולציה עקבית עם החוק השני של התרמודינמיקה. זו תוצאה נחוצה לתיאור תרמודינמי נכון.

שימוש בפרקולציה לתיאור התרמודינמיקה הוא נושא מודרני שמתפתח בשנים האחרונות, ועדיין ישנם חוקים בסיסיים בתרמודינמיקה שלא הוצגו בתיאור של פרקולציה.

לקריאה נוספת

• Andres Malthe-Sorenssen, Percolation and Disordered Systems - A Numerical Approach
  • Béla Bollobás and Oliver Riordan,Percolation
  • Muhammad Sahimi,Applications of Percolation Theory

קישורים חיצוניים

• חלחול, באתר MathWorld (באנגלית)