חפיפת משולשים

בגאומטריה אוקלידית, משולשים נקראים חופפים (congruent triangles) אם יש התאמה בין הקודקודים שלהם השומרת על אורכי הצלעות והזוויות. במקרה זה יש העתקה צפידה (שומרת מרחקים וזוויות) של המישור, המעבירה משולש על משולש. אינטואיטיבית, משולשים חופפים הם בעצם עותקים של אותו משולש.

איור המדגים כיצד ניתן לבנות משולש אחד ויחיד על בסיס שלושה מאפיינים ידועים. במקרה התחתון מימין עבור שתי צלעות והזווית שמול הקטנה מהן ניתן לבנות שני משולשים שונים, ולכן חפיפה אינה מתקיימת בתנאי כזה.

הסימון $\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$ משמעו: המשולשים ABC ו-DEF חופפים באופן שמעתיק את הקודקודים A,B,C ל-D,E,F בהתאמה.

למשולש נתון, ולכל המשולשים החופפים לו, יש אותם אורכי צלעות ואותן זוויות; אלו הם ששת "הגדלים היסודיים" במשולש. ידיעת שלוש הזוויות לבדן אינה קובעת את המשולש, אלא עד כדי דמיון. ידיעת כל שלושה גדלים יסודיים אחרים מספיקה, כמעט בכל המקרים, לאפיין את המשולש כולו עד כדי חפיפה. עובדה זו באה לידי ביטוי במשפטי החפיפה, המבטיחים, בתנאים מסוימים, שמשולשים שבהם שווים שלושה גדלים מסוימים מוכרחים להיות חופפים. אחד הגדלים, כאמור, מוכרח להיות צלע, ולפיכך קיימים משפטי החפיפה הבאים:

1. שני משולשים השווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שביניהן הם חופפים ("צלע-זווית-צלע", SAS, צ.ז.צ).
2. שני משולשים השווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שביניהן הם חופפים ("זווית-צלע-זווית", ASA, ז.צ.ז). די להראות כי המשולשים שווים בצלע אחת ובשתי זוויות כלשהן, משום ששוויון הזווית השלישית נובע מכך שסכום הזוויות במשולש קבוע.
3. שני משולשים השווים זה לזה באורכי צלעותיהם הם חופפים ("צלע-צלע-צלע", SSS, צ.צ.צ).
4. שני משולשים השווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן הם חופפים ("צלע-צלע-זווית", SSA, צ.צ.ז). הזווית צריכה להיות מול הצלע הגדולה דווקא: אחרת המשפט אינו נכון (ראו איור משמאל). עם זאת, המשפט נכון גם אם מניחים שהזווית מול הצלע הגדולה חדה בשני המשולשים או לא חדה (כלומר קהה או ישרה) בשני המשולשים.

אם כך, המקרה היחיד שבו משולש אינו נקבע על ידי שלושה מגדלי הצלעות והזוויות הוא כאשר נתונות רק שלוש הזוויות, או כאשר נתונות רק שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן.

על מנת להבטיח חפיפה, חשוב שהגדלים יהיו שווים בהתאמה לקשר החילה שבין הקודקודים והצלעות. אחרת, יכולים להיות שני משולשים שאינם חופפים, ולהם חמישה גדלים יסודיים זהים. לדוגמה, אם צלעות המשולש הראשון הן: 10, 11, 12.1, ושל השני: 11, 12.1, 13.31, אז הם דומים, ולכן כל שלוש הזויות שוות, אך רק שתיים מהצלעות שוות.

יש דרכים רבות אחרות לזהות משולש עד כדי חפיפה. למשל, שני משולשים השווים זה לזה בזווית, בצלע שמולה ובחוצה זווית של זווית אחרת, הם חופפים.

תקפותם של משפטי החפיפה

משפטי החפיפה אינם ניתנים להוכחה משאר האקסיומות המקובלות של הגאומטריה האוקלידית. עם זאת, הם עצמם שקולים זה לזה, כלומר ניתן להוכיח בעזרת כל אחד מהם את האחרים. במערכת האקסיומות של הילברט מהווה משפט החפיפה צלע-זווית-צלע אקסיומה (אקסיומה III.5).

אוקלידס, שספרו "יסודות" היה הראשון שניסה לבסס את הגאומטריה על אקסיומות, הוכיח את המשפט הראשון בנוסח שהסתמך על מושג ה"תנועה", שלא הוגדר; את שאר המשפטים הוכיח אוקלידס במדויק מן המשפט הראשון.

דוגמה להוכחת המשפט השני בעזרת הראשון: נניח שנתונים שני משולשים, ABC ו-'A'B'C, וידוע ש-$AB=A'B',\angle A=\angle A',\angle B=\angle B'$. נניח בשלילה שהמשולשים אינם חופפים, ואז הצלעות 'AC, A'C אינן שוות (אחרת המשולשים היו חופפים על פי המשפט הראשון) לכן יש נקודה D על צלע AC (או המשכה) כך ש-'AD=A'C. המשולשים ABD ו-'A'B'C חופפים על פי המשפט הראשון, ועל כן $\angle ABD=\angle B'$. אבל זה לא ייתכן, כי $\angle ABD<\angle B'$ כי היא חלקית לה (בהנחה ש-D בין A ל-C, אחרת הכיוון של האי-שוויון הפוך) סתירה ועל כן המשפט הוכח.

לקריאה נוספת

• דיבשה אמירה, ביסוס אקסיומתי ליסודות הגאומטריה, הוצאת עם עובד ודביר, 1962.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חפיפת משולשים בוויקישיתוף

• דורית פטקין ואולגה פלקסין, חפיפת משולשים, התנאים המספיקים והתנאים שאינם מספיקים, על"ה 39, תשס"ח 2008
• חפיפת משולשים, משפט חפיפה צלע-זווית-צלע, באתר לרגו (LerGO)
• חפיפת משולשים, משפט חפיפה זווית-צלע-זווית, באתר לרגו (LerGO)
• חפיפת משולשים, משפט חפיפה צלע-צלע-צלע, באתר לרגו (LerGO)