טווח יציב (תורת החוגים)

בתורת החוגים, טווח יציב הוא ערך מספרי המותאם לחוג, ומהווה כימות אריתמטי לתכונות של קבוצות יוצרים. הטווח היציב הוגדר על ידי היימן בס ב-1960, על-מנת למדוד את היציבות של חבורות המטריצות ההפיכות מעל חוג בהקשר לתורת K שלו.

אם לחוג אנדומורפיזמים של מודול יש טווח יציב 1, אז המודול ניתן לצמצום: אם $\ M\oplus P\cong M\oplus Q$ ו-$\ \operatorname {End} (M)$בעל טווח יציב 1, אז $\ P\cong Q$. מכאן אפשר להסיק שמעל חוג בעל טווח יציב 1, כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית ניתן לצמצום.

הגדרה

הטווח היציב של חוג R שווה למספר המינימלי n שעבורו, לכל $\ a_{1},\dots ,a_{n},a_{n+1}\in R$ שעבורם $\ Ra_{1}+\cdots +Ra_{n+1}=R$, קיימים $\ t_{1},\dots ,t_{n}\in R$ כך ש-$\ R(a_{1}+t_{1}a_{n+1})+\cdots +R(a_{n}+t_{n}a_{n+1})=R$; אם קיים כזה. הגרסה הימנית של הגדרה זו מביאה לאותו ערך מספרי. את הטווח היציב של R מסמנים ב-$\ \operatorname {sr} (R)$.

דוגמאות

לכל שדה ולכל חוג קומוטטיבי מקומי יש טווח יציב 1. הטווח היציב של חוג המספרים השלמים הוא 2. הטווח היציב של חוג קומוטטיבי נתרי אינו עולה ביותר מ-1 על ממד קרול שלו. הטווח היציב של חוג הפולינומים $\ k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ מעל שדה הוא n+1.

תכונות

לכל אידיאל I של R מתקיים $\ \operatorname {sr} (R/I)\leq \operatorname {sr} (R)$. עבור $\ I=\operatorname {Jac} (R)$, הרדיקל של ג'ייקובסון, מתקיים שוויון. במובן זה, הטווח היציב הוא תכונה של חוגים פרימיטיביים למחצה.

חוג בעל טווח יציב 1 הוא חוג סופי-דדקינד (כלומר אם ab=1 אז גם ba=1). בפרט, הטווח היציב של R הוא 1, אם $\ a,b\in R$ שעבורם $\ Ra+Rb=R$, קיים $\ t\in R$ כך ש-$\ a+tb$ הפיך. כל חוג $\pi$-רגולרי חזק הוא בעל טווח יציב 1 . לכל חוג מקומי למחצה יש טווח יציב 1. אם R בעל טווח יציב 1, אז כך גם כל חוג אנדומורפיזמים של מודול פרויקטיבי נוצר סופית מעליו; בפרט, לחוגי המטריצות מעל R יש טווח יציב 1. בכיוון ההפוך, אם $\ \operatorname {sr} (R)=1$ ו-e אידמפוטנט של R, אז גם $\ \operatorname {sr} (eRe)=1$.

יש חסם כללי על הטווח היציב של חוגי מטריצות: אם $\ \operatorname {sr} (R)=n$ אז $\ \operatorname {sr} (M_{k}(R))\leq 1+\lceil {\frac {n-1}{k}}\rceil$.