טווח יציב (תורת החוגים)

בתורת החוגים, טווח יציב הוא ערך מספרי המותאם לחוג, ומהווה כימות אריתמטי לתכונות של קבוצות יוצרים. הטווח היציב הוגדר על ידי היימן בס ב-1960, על-מנת למדוד את היציבות של חבורות המטריצות ההפיכות מעל חוג בהקשר לתורת K שלו.

אם לחוג אנדומורפיזמים של מודול יש טווח יציב 1, אז המודול ניתן לצמצום: אם ו-בעל טווח יציב 1, אז . מכאן אפשר להסיק שמעל חוג בעל טווח יציב 1, כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית ניתן לצמצום.

הגדרה עריכה

הטווח היציב של חוג R שווה למספר המינימלי n שעבורו, לכל   שעבורם  , קיימים   כך ש- ; אם קיים כזה. הגרסה הימנית של הגדרה זו מביאה לאותו ערך מספרי. את הטווח היציב של R מסמנים ב- .

דוגמאות עריכה

לכל שדה ולכל חוג קומוטטיבי מקומי יש טווח יציב 1. הטווח היציב של חוג המספרים השלמים הוא 2. הטווח היציב של חוג קומוטטיבי נתרי אינו עולה ביותר מ-1 על ממד קרול שלו. הטווח היציב של חוג הפולינומים   מעל שדה הוא n+1.

תכונות עריכה

לכל אידיאל I של R מתקיים  . עבור  , הרדיקל של ג'ייקובסון, מתקיים שוויון. במובן זה, הטווח היציב הוא תכונה של חוגים פרימיטיביים למחצה.

חוג בעל טווח יציב 1 הוא חוג סופי-דדקינד (כלומר אם ab=1 אז גם ba=1). בפרט, הטווח היציב של R הוא 1, אם   שעבורם  , קיים   כך ש-  הפיך. כל חוג  -רגולרי חזק הוא בעל טווח יציב 1 [1]. לכל חוג מקומי למחצה יש טווח יציב 1. אם R בעל טווח יציב 1, אז כך גם כל חוג אנדומורפיזמים של מודול פרויקטיבי נוצר סופית מעליו; בפרט, לחוגי המטריצות מעל R יש טווח יציב 1. בכיוון ההפוך, אם   ו-e אידמפוטנט של R, אז גם  .

יש חסם כללי על הטווח היציב של חוגי מטריצות: אם   אז  .

הערות שוליים עריכה

  1. ^ Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 3293-3298 [1]